Dérivée d'un quotient u/v : d'où vient le signe moins et comment ne plus le perdre

Deux formules, une condition commune

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, avec v(x) ≠ 0 pour tout x de I. Alors 1/v et u/v sont dérivables sur I, avec (1/v)′ = −v′/v² et (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Sans v ≠ 0, le quotient n'est pas défini ; et le mot « intervalle » compte : x ↦ (2x + 1)/(x − 3) est définie sur ℝ∖{3}, qui n'en est pas un, et s'étudie sur ]−∞ ; 3[ puis sur ]3 ; +∞[.

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 cite l'inverse et le quotient parmi les opérations sur les fonctions dérivables. Sa liste de démonstrations contient la dérivée du produit et celle de x ↦ 1/x, pas celle du quotient général ; la justification qui suit permet de retrouver la formule. Vue d'ensemble : la dérivation en première.

D'où vient le signe moins

On commence par 1/v. Soit a dans I et h non nul tel que a + h soit dans I. Le taux de variation de 1/v entre a et a + h s'écrit :

[1/v(a + h) − 1/v(a)] / h = [v(a) − v(a + h)] / [h × v(a + h) × v(a)] = − [(v(a + h) − v(a)) / h] × 1/[v(a + h)v(a)].

Le signe moins apparaît dès la réduction au même dénominateur : on soustrait v(a + h) à v(a), donc dans l'ordre inverse de celui d'un taux de variation. Quand h tend vers 0, le crochet tend vers v′(a) et v(a + h) tend vers v(a), puisque v est dérivable, donc continue, en a. Le taux tend donc vers −v′(a)/v(a)².

Pour le quotient, on écrit u/v = u × (1/v) et on applique la formule du produit, démontrée dans l'article sur la dérivée d'un produit :

(u/v)′ = u′ × (1/v) + u × (−v′/v²) = u′v/v² − uv′/v² = (u′v − uv′)/v².

Le terme positif u′v vient de la dérivée de u, le terme négatif de la dérivée de 1/v. Retenir cette origine suffit pour ne plus inverser l'ordre : on dérive d'abord le numérateur.

Écrire le calcul sans se tromper

Poser u(x), u′(x), v(x), v′(x) et l'intervalle où v ne s'annule pas ; écrire u′v − uv′ avec des parenthèses autour de chaque produit, surtout autour de uv′, qu'on soustrait en entier ; développer et réduire le numérateur seulement. Le dénominateur v² reste au carré : strictement positif sur I, il ne joue pas sur le signe, et développer (x − 3)² cache cette information. Si le numérateur est une constante, la formule de 1/v va plus vite : pour f(x) = 3/(x² + 1), f′(x) = 3 × (−2x/(x² + 1)²) = −6x/(x² + 1)².

Exemple 1 · Une fonction homographique

Énoncé. Soit f définie sur ℝ∖{3} par f(x) = (2x + 1)/(x − 3). Calculer f′(x) et étudier le sens de variation de f.

Rédaction. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = x − 3, dérivables sur ℝ, avec u′(x) = 2 et v′(x) = 1. La fonction v ne s'annule pas sur ]−∞ ; 3[ ni sur ]3 ; +∞[, donc f est dérivable sur chacun de ces intervalles et, pour tout x ≠ 3 :

f′(x) = [2(x − 3) − (2x + 1) × 1] / (x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)².

Pour tout x ≠ 3, (x − 3)² > 0, donc f′(x) < 0. La fonction f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 3[ et strictement décroissante sur ]3 ; +∞[.

Il serait faux de conclure qu'elle est décroissante sur ℝ∖{3} : f(2) = 5/(−1) = −5 et f(4) = 9/1 = 9, donc 2 < 4 et pourtant f(2) < f(4). Le lien entre signe de la dérivée et sens de variation ne vaut que sur un intervalle.

Pour les fonctions de la forme (ax + b)/(cx + d), le numérateur de la dérivée vaut toujours a(cx + d) − (ax + b)c = ad − bc, une constante. Ici, 2 × (−3) − 1 × 1 = −7. Ce raccourci sert de contrôle ; la copie doit montrer la formule appliquée.

Exemple 2 · Le numérateur à factoriser

Énoncé. Soit f définie sur ]−1 ; +∞[ par f(x) = (x² + 3)/(x + 1). Étudier les variations de f.

Rédaction. On pose u(x) = x² + 3 et v(x) = x + 1, dérivables sur ]−1 ; +∞[, avec u′(x) = 2x et v′(x) = 1 ; v ne s'annule pas sur cet intervalle. Pour tout x > −1 :

f′(x) = [2x(x + 1) − (x² + 3)] / (x + 1)² = (2x² + 2x − x² − 3)/(x + 1)² = (x² + 2x − 3)/(x + 1)².

Le trinôme x² + 2x − 3 a pour racine évidente 1, et le produit des racines vaut −3, donc l'autre racine est −3 : x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3). Sur ]−1 ; +∞[, x + 3 > 0 et (x + 1)² > 0, donc f′(x) est du signe de x − 1. La fonction f est décroissante sur ]−1 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[. Elle admet en 1 un minimum égal à f(1) = 4/2 = 2.

Ce que montre la figure de la dérivée d'un quotient

La figure reprend l'exemple 1. Les droites en pointillés x = 3 (où f n'est pas définie) et y = 2 (dont la courbe se rapproche aux extrémités) apparaissent d'abord, puis la branche de gauche, la branche de droite, les deux tangentes et enfin les points f(2) et f(4). Chaque branche descend, car f′(x) = −7/(x − 3)² est négatif partout. Les tangentes dorées en A (abscisse 1) et B (abscisse 5) ont la même pente −7/4, puisque (1 − 3)² = (5 − 3)² = 4. Les points rouge et vert, f(2) = −5 et f(4) = 9, rappellent le piège : f décroît sur chaque intervalle, pas sur leur réunion.

Les erreurs sur la dérivée d'un quotient qui coûtent des points

• Le numérateur inversé, uv′ − u′v : on obtient l'opposé de la dérivée, et tout le tableau est faux. Qui sait que la formule vient de u × (1/v) commence par u′.
• La parenthèse oubliée : dans l'exemple 1, 2(x − 3) − 2x + 1 au lieu de 2(x − 3) − (2x + 1) transforme −7 en −5 ; dans l'exemple 2, la même faute donne x² + 2x + 3, sans racine, et une fonction qu'on croit croissante partout.
• (u/v)′ = u′/v′ : x²/x vaut x sur ]0 ; +∞[, de dérivée 1, alors que u′/v′ = 2x.
• Le dénominateur développé, qui rend le signe illisible, et la conclusion « décroissante sur ℝ∖{3} » (voir la dérivée et le sens de variation).
• La formule appliquée là où une simplification suffit : (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 sur ]1 ; +∞[, donc f′(x) = 1.

Trois exercices corrigés sur la dérivée d'un quotient

Exercice 1 · Dériver f(x) = (4x − 1)/(2x + 5) sur ]−5/2 ; +∞[

On pose u(x) = 4x − 1 et v(x) = 2x + 5, dérivables sur ℝ, u′(x) = 4, v′(x) = 2. Pour x > −5/2, v(x) > 0, donc f est dérivable sur ]−5/2 ; +∞[ et :

f′(x) = [4(2x + 5) − (4x − 1) × 2]/(2x + 5)² = (8x + 20 − 8x + 2)/(2x + 5)² = 22/(2x + 5)².

Contrôle : ad − bc = 4 × 5 − (−1) × 2 = 22. Comme f′(x) > 0, f est strictement croissante sur ]−5/2 ; +∞[.

Exercice 2 · Variations et extremums de f(x) = x/(x² + 4)

On pose u(x) = x et v(x) = x² + 4, dérivables sur ℝ, u′(x) = 1, v′(x) = 2x, et v(x) ≥ 4 > 0 pour tout réel x. Donc f est dérivable sur ℝ et :

f′(x) = [1 × (x² + 4) − x × 2x]/(x² + 4)² = (4 − x²)/(x² + 4)² = (2 − x)(2 + x)/(x² + 4)².

Le dénominateur est strictement positif ; le numérateur est un trinôme de coefficient dominant −1, de racines −2 et 2, donc positif entre les racines et négatif à l'extérieur. Ainsi f est décroissante sur ]−∞ ; −2], croissante sur [−2 ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[.

On calcule f(−2) = −2/8 = −1/4 et f(2) = 2/8 = 1/4. Le tableau montre que f admet un minimum local −1/4 en −2 et un maximum local 1/4 en 2. On peut aller plus loin : pour tout réel x, 1/4 − f(x) = (x² − 4x + 4)/(4(x² + 4)) = (x − 2)²/(4(x² + 4)) ≥ 0, donc 1/4 est le maximum de f sur ℝ ; de même −1/4 est son minimum.

Exercice 3 · Deux écritures, un minimum et une tangente

Énoncé. Soit f définie sur ]1 ; +∞[ par f(x) = (x² − x + 4)/(x − 1). a) Vérifier que f(x) = x + 4/(x − 1). b) Calculer f′(x) de deux façons. c) Étudier les variations de f. d) Donner une équation de la tangente au point d'abscisse 2.

a) Pour x > 1, x + 4/(x − 1) = [x(x − 1) + 4]/(x − 1) = (x² − x + 4)/(x − 1) = f(x).

b) Avec la formule du quotient, u(x) = x² − x + 4, u′(x) = 2x − 1, v(x) = x − 1, v′(x) = 1 :

f′(x) = [(2x − 1)(x − 1) − (x² − x + 4)]/(x − 1)² = (2x² − 3x + 1 − x² + x − 4)/(x − 1)² = (x² − 2x − 3)/(x − 1)².

Avec la seconde écriture et (1/v)′ = −v′/v² : f′(x) = 1 − 4/(x − 1)² = [(x − 1)² − 4]/(x − 1)² = (x² − 2x − 3)/(x − 1)². Les deux calculs concordent.

c) x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Sur ]1 ; +∞[, x + 1 > 0 et (x − 1)² > 0, donc f′(x) est du signe de x − 3. La fonction f est décroissante sur ]1 ; 3] et croissante sur [3 ; +∞[, avec un minimum f(3) = (9 − 3 + 4)/2 = 5.

d) f(2) = (4 − 2 + 4)/1 = 6 et f′(2) = (4 − 4 − 3)/1 = −3. La tangente a pour équation y = 6 − 3(x − 2), soit y = −3x + 12.