Dérivées usuelles : le tableau de première et d'où vient chaque ligne

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 fixe la liste : carré, cube, inverse, racine carrée, x ↦ xⁿ pour n entier relatif, exponentielle et t ↦ e^at. La dérivée de x ↦ g(ax + b), qu'on trouve dans les manuels plus anciens, n'y figure plus. Produit et quotient ont leurs pages, dérivée d'un produit et dérivée d'un quotient ; le plan du chapitre est sur la dérivation en première.

Démontrer les lignes du tableau

Les démonstrations pour le carré et l'inverse figurent dans la liste du programme. Elles reprennent la méthode du nombre dérivé, en un réel x quelconque.

La fonction carré. Soit x un réel et h un réel non nul. (x + h)² − x² = 2xh + h², donc le taux de variation vaut (2xh + h²)/h = 2x + h. Quand h tend vers 0, il tend vers 2x : la fonction carré est dérivable sur ℝ, de dérivée x ↦ 2x. Pour le cube, (x + h)³ − x³ = 3x²h + 3xh² + h³, le taux vaut 3x² + 3xh + h², de limite 3x².

La fonction inverse. Soit x un réel non nul et h un réel non nul, assez petit pour que x + h soit non nul et du même signe que x. Alors

1/(x + h) − 1/x = (x − (x + h)) / (x(x + h)) = −h / (x(x + h)),

et le taux de variation vaut −1/(x(x + h)). Quand h tend vers 0, x(x + h) tend vers x², et le taux tend vers −1/x². La fonction inverse est dérivable sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, de dérivée x ↦ −1/x² : le signe moins traduit l'hyperbole qui descend sur chacun des deux intervalles.

La racine carrée, et pourquoi 0 est exclu. Pour x > 0 et h ≠ 0 avec x + h > 0, on multiplie par la quantité conjuguée :

(√(x + h) − √x)/h = ((x + h) − x) / (h(√(x + h) + √x)) = 1/(√(x + h) + √x).

Quand h tend vers 0, le dénominateur tend vers 2√x, non nul puisque x > 0 : la dérivée est 1/(2√x). En x = 0, le taux vaut 1/√h, qui grandit sans limite : la racine carrée n'est pas dérivable en 0, résultat que le programme demande de démontrer. Sur une copie, l'intervalle ouvert ]0 ; +∞[ s'écrit à côté de la formule.

Puissances négatives et e^at

Puissances. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ : l'exposant descend devant et diminue de 1, y compris pour n négatif et x ≠ 0. Ainsi (1/x³)′ = (x⁻³)′ = −3x⁻⁴ = −3/x⁴, et la fonction inverse est le cas n = −1. Il faut savoir réécrire : 3/x² = 3x⁻², de dérivée 3 × (−2)x⁻³ = −6/x³.

Exponentielle. exp est, par définition, l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp′ = exp et exp(0) = 1 : sa ligne ne se démontre pas. Pour (e^at)′ = a e^at : pour a ≠ 0, t réel et h ≠ 0, e^{a(t + h)} − e^at = e^at(e^ah − 1), donc le taux vaut e^at × a × (e^ah − 1)/(ah). Le quotient (e^ah − 1)/(ah) est le taux de variation de exp entre 0 et ah ; il tend vers exp′(0) = 1 quand h tend vers 0. Pour a = 0, la fonction est constante, de dérivée 0. Exemple : f(t) = 3e^−2t a pour dérivée −6e^−2t, négative : f décroît sur ℝ. Voir aussi la fonction exponentielle.

Dériver une expression déguisée

On réécrit d'abord la fonction comme une somme de lignes du tableau (puissances négatives, quotient séparé en termes), on donne l'ensemble de dérivabilité, puis on dérive terme à terme.

Exemple 1 · Un mélange d'inverse, de racine et de puissance négative

Énoncé. Dériver g(x) = 2/x − 3√x + 1/x² sur ]0 ; +∞[.

Rédaction. Sur ]0 ; +∞[, les fonctions x ↦ 1/x, x ↦ √x et x ↦ x⁻² sont dérivables, donc g aussi. Pour tout x > 0,

g′(x) = 2 × (−1/x²) − 3 × 1/(2√x) + (−2)x⁻³ = −2/x² − 3/(2√x) − 2/x³.

On travaille bien sur ]0 ; +∞[ et non sur [0 ; +∞[, à cause de √x et des quotients.

Exemple 2 · Réécrire avant de dériver

Énoncé. Dériver k(x) = (x² + 1)/x sur ]0 ; +∞[ sans utiliser la formule du quotient.

Rédaction. Pour x > 0, k(x) = x²/x + 1/x = x + 1/x. Donc k′(x) = 1 − 1/x². La formule du quotient donnerait le même résultat, (x² − 1)/x², au prix d'un calcul plus long.

Les erreurs sur les dérivées usuelles qui coûtent des points

• (√x)′ = 1/√x : le 2 oublié. En x = 4, on trouve 1/2 au lieu de 1/4, et la tangente qui suit est fausse.
• (1/x)′ = 1/x², sans le signe moins, alors que l'hyperbole descend.
• (x⁵)′ = 5x⁶ : l'exposant monte au lieu de descendre. Ou (1/x²)′ = 1/(2x) ; la réécriture x⁻² règle le problème.
• (π²)′ = 2π : π² est un nombre, sa dérivée est 0.
• (e^−2t)′ = e^−2t, sans le facteur −2 : l'erreur fausse ensuite le signe de la dérivée.

Trois exercices corrigés sur les dérivées usuelles

Exercice 1 · Dériver f(x) = x⁴ − 2x³ + x/2 − 7 sur ℝ.

f est une fonction polynôme, dérivable sur ℝ. Pour tout réel x :

f′(x) = 4x³ − 2 × 3x² + 1/2 − 0 = 4x³ − 6x² + 1/2.

Le terme x/2 = (1/2)x a pour dérivée 1/2 ; la constante −7 disparaît.

Exercice 2 · Soit g(x) = (x² − 3x + 2)/x sur ]0 ; +∞[. Calculer g′(x) et résoudre g′(x) = 0.

Pour x > 0, g(x) = x − 3 + 2/x. Donc g est dérivable sur ]0 ; +∞[ et g′(x) = 1 − 2/x² = (x² − 2)/x².

g′(x) = 0 ⇔ x² = 2 ⇔ x = √2, puisque x > 0 (la solution −√2 est hors de l'intervalle).

Le signe de g′(x) est celui de x² − 2 : négatif sur ]0 ; √2[, positif sur ]√2 ; +∞[. La fonction g admet donc un minimum en √2, égal à g(√2) = √2 − 3 + 2/√2 = 2√2 − 3.

Exercice 3 · Soit h(t) = 5 − 4e^−0,5t sur ℝ. Calculer h′(t), en déduire le sens de variation de h, puis la tangente au point d'abscisse 0.

Avec a = −0,5 : (e^−0,5t)′ = −0,5e^−0,5t. Donc h′(t) = −4 × (−0,5)e^−0,5t = 2e^−0,5t.

Une exponentielle est strictement positive, donc h′(t) > 0 pour tout réel t : h est strictement croissante sur ℝ.

En 0 : h(0) = 5 − 4 = 1 et h′(0) = 2. La tangente a pour équation y = 2(t − 0) + 1, soit y = 2t + 1. La méthode est détaillée sur la page équation de la tangente en un point.

Sur la figure, la dérivée collecte les pentes

La figure se construit en cinq temps : la parabole y = x² se trace en bleu nuit, puis on visite les points d'abscisses −1, 1 et 3, et la droite verte se trace en dernier. En chaque point, une tangente dorée : pente −2 en (−1 ; 1), 2 en (1 ; 1), 6 en (3 ; 9). Un pointillé relie chaque point de contact au point vert d'ordonnée égale à cette pente : (−1 ; −2), (1 ; 2), (3 ; 6). Ces points sont alignés sur la droite y = 2x : la fonction dérivée associe à chaque abscisse la pente de la tangente. La pente est négative à gauche de 0, où la parabole descend, positive à droite, où elle monte : c'est le lien étudié dans dérivée et sens de variation.