La dérivation en première : le chapitre entier, de la sécante à l'étude de fonction

Le chapitre se découpe en deux temps que le programme nomme lui-même : le point de vue local, autour d'un point, et le point de vue global, où la fonction dérivée sert à étudier les variations. Cette page donne l'architecture et renvoie, pour chaque partie, à l'article qui la détaille. Le programme de spécialité applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, BO n° 14 du 2 avril 2026) conserve presque tout, mais retire de la première la dérivée de x ↦ g(ax + b) et le calcul d'un nombre dérivé à partir de la définition comme capacité attendue ; il ajoute la dérivée de t ↦ e^at, dans la partie sur l'exponentielle.

Du taux de variation au nombre dérivé et à la tangente

Le taux de variation (f(a + h) − f(a))/h mesure le changement moyen de f entre a et a + h : c'est la pente de la sécante qui joint les points d'abscisses a et a + h. Pour la fonction carré en a = 1, ((1 + h)² − 1²)/h = (2h + h²)/h = 2 + h pour h ≠ 0 ; quand h devient très petit, ce taux s'approche de 2. On dit que f est dérivable en 1 et que f′(1) = 2. En première, cette limite reste intuitive, sans définition formelle.

Le nombre dérivé se lit comme la pente d'une tangente, une vitesse instantanée ou un coût marginal (voir nombre dérivé et tangente). Si f est dérivable en a, la tangente au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a), démonstration au programme (voir l'équation de la tangente en un point). La même formule donne l'approximation affine : pour h petit, f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h.

Ce que montre la figure des sécantes

La parabole y = x² se trace, le point A(1 ; 1) apparaît, puis les sécantes arrivent une à une, de la plus raide à la plus couchée : elles passent par A et par le point d'abscisse 1 + h, pour h = 2, 1 et 0,5, avec les pentes 4, 3 et 2,5, valeurs de 2 + h. Elles pivotent autour de A et se couchent sur la tangente dorée, tracée en dernier, de pente 2. C'est la tangente comme « limite des sécantes » et le nombre dérivé comme limite des pentes.

La fonction dérivée et les formules

Quand f est dérivable en tout point d'un intervalle I, on définit sur I sa fonction dérivée f′. Le programme liste les dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée et x ↦ xⁿ pour n entier relatif, puis les règles pour une somme, un produit, un inverse et un quotient (détails dans les dérivées usuelles, la dérivée d'un produit et la dérivée d'un quotient).

La valeur absolue et la racine carrée ne sont pas dérivables en 0. Pour la racine, avec h > 0, le taux en 0 vaut (√h − √0)/h = 1/√h, qui devient aussi grand qu'on veut quand h tend vers 0 : pas de limite finie. La tangente à l'origine est verticale.

Du signe de f′ aux variations : la trame d'un devoir

Si f est dérivable sur un intervalle I, f est croissante sur I si et seulement si f′ ≥ 0 sur I, décroissante si et seulement si f′ ≤ 0 (admis en première). Si f′ > 0 sur I sauf en des points isolés où elle s'annule, f est strictement croissante. Si f, dérivable sur un intervalle ouvert, admet un extremum local en a, alors f′(a) = 0 ; la réciproque est fausse (x ↦ x³ en 0). Voir dérivée et sens de variation et l'extremum d'une fonction.

1. Ensemble de définition et dérivabilité, en une phrase (« f est un polynôme, donc dérivable sur ℝ »).
2. Calcul de f′(x), en citant la règle utilisée.
3. f′(x) factorisé, puis son signe (souvent une inéquation du second degré).
4. Tableau de variations, avec les valeurs aux bornes et aux extremums.
5. Exploitation : extremum, nombre de solutions, inégalité, tangente.

Sur les copies, trois défauts reviennent : déduire les variations de f du sens de variation de f′ au lieu de son signe ; un tableau sans les valeurs de f aux extremums ; une dérivée laissée développée (3x² − 6x − 9 ne montre rien, 3(x + 1)(x − 3) montre tout).

Une étude, une optimisation, une approximation

Exemple 1 · Étude complète d'un polynôme de degré 3

Soit f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 sur ℝ. La fonction f est un polynôme, donc dérivable sur ℝ, et f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3).

Le trinôme f′(x), de coefficient 3 > 0, est positif à l'extérieur de ses racines −1 et 3, négatif entre elles. Donc f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 3], croissante sur [3 ; +∞[. On calcule f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 et f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22. La fonction admet un maximum local 10 en −1 et un minimum local −22 en 3.

Tangente au point d'abscisse 0 : f(0) = 5 et f′(0) = −9, d'où y = 5 − 9(x − 0), soit y = −9x + 5.

Exemple 2 · La boîte de volume maximal

Dans un carré de carton de 12 cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté x, puis on relève les bords. Pour x ∈ ]0 ; 6[, le volume de la boîte vaut V(x) = x(12 − 2x)².

V est dérivable sur ]0 ; 6[ comme produit de fonctions dérivables. Avec u(x) = x et w(x) = (12 − 2x)², on a u′(x) = 1 et, en développant w(x) = 4x² − 48x + 144, w′(x) = 8x − 48 = −4(12 − 2x). Donc V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x).

Sur ]0 ; 6[, 12 − 2x > 0, donc V′(x) a le signe de 12 − 6x : positif sur ]0 ; 2[, négatif sur ]2 ; 6[. V est croissante sur ]0 ; 2], décroissante sur [2 ; 6[, et atteint son maximum en x = 2 : V(2) = 2 × 8² = 128. Le volume maximal est 128 cm³, pour des carrés de 2 cm.

Exemple 3 · Une valeur approchée de √1,02

Soit f(x) = √x, dérivable sur ]0 ; +∞[ avec f′(x) = 1/(2√x). En a = 1, f(1) = 1 et f′(1) = 1/2. L'approximation affine donne f(1 + h) ≈ 1 + h/2 pour h proche de 0. Avec h = 0,02 : √1,02 ≈ 1,01. La calculatrice affiche 1,00995…, l'erreur est inférieure à 10⁻⁴.

Trois exercices corrigés sur la dérivation

Exercice 1 · Un nombre dérivé par le taux de variation

Soit f(x) = 2x² − 5x + 1. Calculer f′(1) à l'aide du taux de variation, puis donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 1.

On a f(1) = 2 − 5 + 1 = −2 et f(1 + h) = 2(1 + 2h + h²) − 5 − 5h + 1 = 2h² − h − 2. Donc f(1 + h) − f(1) = 2h² − h et, pour h ≠ 0, le taux vaut (2h² − h)/h = 2h − 1. Quand h tend vers 0, il tend vers −1 : f′(1) = −1.

Contrôle par la formule : f′(x) = 4x − 5, f′(1) = −1. La tangente a pour équation y = −2 − 1 × (x − 1), soit y = −x − 1.

Exercice 2 · Démontrer que x + 1/x ≥ 2 pour x > 0

Soit g(x) = x + 1/x sur ]0 ; +∞[. La fonction g est dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables, et g′(x) = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x² = (x − 1)(x + 1)/x².

Pour x > 0, x + 1 > 0 et x² > 0, donc g′(x) a le signe de x − 1 : négatif sur ]0 ; 1[, positif sur ]1 ; +∞[. La fonction g est décroissante sur ]0 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[, et admet un minimum en 1, égal à g(1) = 2.

Donc pour tout x > 0, g(x) ≥ 2, c'est-à-dire x + 1/x ≥ 2, avec égalité seulement pour x = 1.

Exercice 3 · Les tangentes parallèles à une droite donnée

Soit h(x) = x³ − 3x + 1 sur ℝ. Déterminer les points de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = 9x, et donner les équations de ces tangentes.

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. On cherche donc les x tels que h′(x) = 9. Or h′(x) = 3x² − 3, et 3x² − 3 = 9 équivaut à x² = 4, soit x = 2 ou x = −2.

En x = 2 : h(2) = 8 − 6 + 1 = 3, tangente y = 9(x − 2) + 3 = 9x − 15. En x = −2 : h(−2) = −8 + 6 + 1 = −1, tangente y = 9(x + 2) − 1 = 9x + 17. Les points cherchés sont (2 ; 3) et (−2 ; −1).