Équation cartésienne d'un plan : du vecteur normal à ax + by + cz + d = 0

C'est la version dans l'espace de l'équation ax + by + c = 0 d'une droite du plan. Le programme de spécialité de 2019 demande de déterminer l'équation d'un plan connaissant un vecteur normal et un point, de reconnaître un plan donné par une équation et d'en préciser un vecteur normal, et de démontrer l'équation du plan normal à n⃗ passant par A. Le repère est orthonormé dans toute cette partie, puisque tout repose sur le produit scalaire. Les outils viennent des vecteurs de l'espace.

Vecteur normal et équation

Un vecteur n⃗ non nul est normal à un plan 𝒫 s'il est orthogonal à tous les vecteurs de 𝒫, ce qui revient à être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de 𝒫 (voir produit scalaire et orthogonalité). Un plan a une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires, donc une infinité d'équations proportionnelles : 2x + y + 2z − 6 = 0 et −4x − 2y − 4z + 12 = 0 décrivent le même plan.

Démontrer l'équation d'un plan, dans les deux sens

Sens direct. Soit 𝒫 le plan passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et de vecteur normal n⃗(a ; b ; c), non nul. Pour un point M(x ; y ; z), le repère étant orthonormé :

M ∈ 𝒫 ⇔ AM^→ · n⃗ = 0 ⇔ a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0 ⇔ ax + by + cz + d = 0, en posant d = −(ax_A + by_A + cz_A).

Le plan 𝒫 a donc une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, dont les trois premiers coefficients sont les coordonnées du vecteur normal.

Réciproque. Soient a, b, c, d des réels avec (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0), et E l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0. Il faut d'abord montrer que E contient au moins un point. L'un des trois coefficients n'est pas nul, par exemple a ; alors le point A(−d/a ; 0 ; 0) vérifie a × (−d/a) + d = 0, donc A ∈ E. Pour tout point M, ax + by + cz + d = ax + by + cz − ax_A − by_A − cz_A, puisque ax_A + by_A + cz_A = −d. Cette expression vaut a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = AM^→ · n⃗ avec n⃗(a ; b ; c). Donc M ∈ E ⇔ AM^→ · n⃗ = 0 : E est le plan passant par A et de vecteur normal n⃗. Si a est nul, on fait le même raisonnement avec b ou c.

C'est la réciproque qui justifie la phrase « le plan d'équation 3x − z + 1 = 0 a pour vecteur normal n⃗(3 ; 0 ; −1) ».

Trouver l'équation en devoir surveillé

• Un point et un vecteur normal : on écrit ax + by + cz + d = 0 avec les coordonnées de n⃗, puis on calcule d avec le point.
• Trois points A, B, C : on vérifie que AB^→ et AC^→ ne sont pas colinéaires, puis on cherche n⃗(a ; b ; c) non nul avec n⃗ · AB^→ = 0 et n⃗ · AC^→ = 0 : deux équations, trois inconnues, on exprime deux inconnues en fonction de la troisième et on choisit une valeur qui donne des entiers. Si l'énoncé propose un vecteur normal, il suffit de vérifier les deux produits scalaires.
• Un point et une droite orthogonale au plan : le vecteur directeur de la droite, lu sur sa représentation paramétrique, est normal au plan.
• Projeté orthogonal H de M : H = M + k n⃗, avec k tel que H vérifie l'équation ; la distance de M au plan est MH, et H est le point du plan le plus proche de M, puisque MP² = MH² + HP² pour tout P du plan (Pythagore).

Je fais toujours remplacer les coordonnées des points donnés dans l'équation trouvée : chacun doit donner 0. Le contrôle attrape presque toutes les erreurs de signe sur d.

Exemple 1 · Un point et un vecteur normal

Énoncé. Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan 𝒫 passant par A(1 ; 2 ; 1) et de vecteur normal n⃗(2 ; 1 ; 2). Préciser les points où 𝒫 coupe les axes.

Rédaction. n⃗ est un vecteur normal à 𝒫, donc 𝒫 a une équation de la forme 2x + y + 2z + d = 0. Comme A ∈ 𝒫, 2 + 2 + 2 + d = 0, d'où d = −6. Une équation de 𝒫 est 2x + y + 2z − 6 = 0.

Sur l'axe des abscisses, y = z = 0, donc 2x = 6 et x = 3 : 𝒫 coupe cet axe en (3 ; 0 ; 0). De même, il coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 6 ; 0) et l'axe des cotes en (0 ; 0 ; 3). Ces trois points permettent de dessiner le plan.

Exemple 2 · Le plan passant par trois points

Énoncé. On donne A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 0) et C(0 ; 3 ; 1). Montrer que ces points définissent un plan et en déterminer une équation cartésienne.

Rédaction. AB^→(1 ; 1 ; −2) et AC^→(−1 ; 3 ; −1). Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait AC^→ = k AB^→ ; la première coordonnée impose k = −1, la deuxième k = 3. Ils ne sont donc pas colinéaires, les points ne sont pas alignés et définissent un plan.

Soit n⃗(a ; b ; c) un vecteur normal à (ABC). Les conditions n⃗ · AB^→ = 0 et n⃗ · AC^→ = 0 s'écrivent a + b − 2c = 0 et −a + 3b − c = 0. En les ajoutant : 4b − 3c = 0, donc b = 3c/4, puis a = 2c − b = 5c/4. Avec c = 4, on obtient n⃗(5 ; 3 ; 4), non nul. Le plan a une équation 5x + 3y + 4z + d = 0, et A donne 5 + 8 + d = 0, donc d = −13 : (ABC) : 5x + 3y + 4z − 13 = 0.

Contrôle : pour B, 10 + 3 + 0 − 13 = 0 ; pour C, 0 + 9 + 4 − 13 = 0.

Les erreurs sur l'équation d'un plan qui coûtent des points

• Vecteur normal et vecteur directeur confondus. Les coefficients (a ; b ; c) d'une équation de plan donnent un vecteur orthogonal au plan ; les coefficients de t dans une représentation de droite donnent un vecteur porté par la droite. Une droite de l'espace n'a pas « un » vecteur normal : elle a une infinité de directions orthogonales.
• Le signe de d. Écrire ax + by + cz = d puis reporter d avec le mauvais signe ; le contrôle par remplacement l'élimine.
• Trois points non vérifiés. Oublier de montrer qu'ils ne sont pas alignés, ou prendre n⃗ = 0⃗, qui vérifie les deux équations sans être normal.
• Une équation à deux inconnues lue comme une droite. Dans l'espace, 2x + y − 3 = 0 est un plan : z est libre.

Trois exercices corrigés sur l'équation d'un plan

Exercice 1 · Plan perpendiculaire à une direction donnée

Énoncé. Dans un repère orthonormé, déterminer une équation du plan 𝒬 passant par B(0 ; 2 ; −1) et orthogonal à la droite de vecteur directeur u⃗(3 ; 0 ; −1). Le point K(1 ; 5 ; 2) appartient-il à 𝒬 ?

Correction. La droite est orthogonale à 𝒬, donc u⃗ est un vecteur normal à 𝒬, qui a une équation 3x − z + d = 0. B ∈ 𝒬 donne 0 + 1 + d = 0, donc d = −1 : 𝒬 : 3x − z − 1 = 0. L'équation ne contient pas y, ce qui est normal puisque la deuxième coordonnée de u⃗ est nulle. Pour K : 3 − 2 − 1 = 0, donc K ∈ 𝒬.

Exercice 2 · Plans parallèles, plans perpendiculaires, droite sécante

Énoncé. On considère 𝒫 : x − 2y + z − 1 = 0, 𝒬 : 2x + y − 3 = 0 et ℛ : −2x + 4y − 2z + 5 = 0. a) Montrer que 𝒫 et 𝒬 sont perpendiculaires. b) Montrer que 𝒫 et ℛ sont strictement parallèles. c) Déterminer l'intersection de 𝒫 avec la droite d : x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t, t ∈ ℝ.

Correction. a) Des vecteurs normaux sont n⃗_𝒫(1 ; −2 ; 1) et n⃗_𝒬(2 ; 1 ; 0). Leur produit scalaire vaut 2 − 2 + 0 = 0 : ils sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires.

b) n⃗_ℛ(−2 ; 4 ; −2) = −2 n⃗_𝒫 : les plans sont parallèles. Le point (1 ; 0 ; 0) est sur 𝒫 puisque 1 − 0 + 0 − 1 = 0, mais pas sur ℛ puisque −2 + 5 = 3 ≠ 0. Ils sont donc strictement parallèles. On peut aussi le voir sur les équations : multipliée par −2, celle de 𝒫 devient −2x + 4y − 2z + 2 = 0, qui diffère de celle de ℛ par la constante.

c) On remplace : (1 + t) − 2(2t) + (3 − t) − 1 = 0, soit 3 − 4t = 0, donc t = 3/4. Le point d'intersection a pour coordonnées (7/4 ; 3/2 ; 9/4). Contrôle : 7/4 − 3 + 9/4 − 1 = 0.

Exercice 3 · Plan médiateur et distance de l'origine

Énoncé. Dans un repère orthonormé d'origine O, on donne E(1 ; 2 ; 3) et F(3 ; 0 ; −1). Le plan médiateur de [EF] est l'ensemble des points équidistants de E et de F. a) Montrer que c'est le plan passant par le milieu I de [EF] et de vecteur normal EF^→, et en donner une équation. b) Calculer la distance de O à ce plan.

Correction. a) Pour tout point M, ME² − MF² = (ME^→ − MF^→) · (ME^→ + MF^→) = FE^→ · 2MI^→, car ME^→ + MF^→ = 2MI^→. Donc ME = MF ⇔ ME² = MF² ⇔ FE^→ · MI^→ = 0 ⇔ IM^→ · EF^→ = 0 : c'est le plan passant par I et normal à EF^→. Ici I(2 ; 1 ; 1) et EF^→(2 ; −2 ; −4) ; on prend le vecteur normal (1 ; −1 ; −2), colinéaire. L'équation est x − y − 2z + d = 0 avec 2 − 1 − 2 + d = 0, donc d = 1 : x − y − 2z + 1 = 0.

b) Le projeté H de O s'écrit H(k ; −k ; −2k). Il est sur le plan si k + k + 4k + 1 = 0, donc k = −1/6 et H(−1/6 ; 1/6 ; 1/3). La distance de O au plan est OH = |k| × √(1 + 1 + 4) = √6/6 ≈ 0,41.

Ce que montre la figure de l'équation d'un plan

La figure représente en perspective le plan 2x + y + 2z − 6 = 0 de l'exemple 1. On en dessine un morceau : le triangle dont les sommets sont les traces sur les axes, à 3, 6 et 3. Les trois traces apparaissent d'abord, puis le triangle, puis A(1 ; 2 ; 1), M(1/2 ; 4 ; 1/2) et AM^→ en bleu, puis le vecteur normal n⃗(2 ; 1 ; 2) en or, et enfin l'équerre et l'équation. M vérifie 1 + 4 + 1 − 6 = 0 : il est dans le plan exactement parce que AM^→ fait un angle droit avec n⃗. La perspective déforme les angles : c'est le produit scalaire nul, pas le dessin, qui garantit l'angle droit.