Produit scalaire et orthogonalité : prouver qu'un angle est droit sans jamais le mesurer

Le programme de première (rentrée 2026) demande d'« utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité » et de démontrer que l'ensemble des points M tels que MA^→ · MB^→ = 0 est le cercle de diamètre [AB]. Les définitions sont dans l'article sur le produit scalaire.

Pourquoi un produit scalaire nul veut dire « angle droit »

Pour deux vecteurs non nuls, u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ avec θ dans [0 ; π]. Les normes ne sont pas nulles, donc u⃗ · v⃗ = 0 si et seulement si cos θ = 0, soit θ = π/2.

Le vecteur nul a un produit scalaire nul avec tout vecteur : on le dit orthogonal à tout vecteur. Dans un exercice à paramètre, une valeur peut annuler un vecteur ; il n'y a alors plus de droite. Avant de conclure « les droites sont perpendiculaires », on vérifie que les vecteurs sont non nuls. Vocabulaire : des vecteurs orthogonaux, des droites perpendiculaires ; jamais « vecteurs perpendiculaires ».

Avec ou sans repère : choisir sa méthode

En repère orthonormé, on calcule les coordonnées des deux vecteurs puis xx′ + yy′ (voir le produit scalaire en coordonnées). Dans un carré, un rectangle ou un losange sans repère, on décompose chaque vecteur par Chasles sur deux vecteurs de base dont on connaît les produits scalaires, puis on développe ; un énoncé qui dit « sans repère » attend cette méthode. Si la figure montre un cercle et un diamètre, on pense à MA^→ · MB^→.

Exemple 1 · Un triangle rectangle repéré par le calcul

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(3 ; 8). Le triangle ABC est-il rectangle ?

Rédaction. On teste les trois sommets. AB^→(4 ; 2) et AC^→(2 ; 6) : AB^→ · AC^→ = 8 + 12 = 20 ≠ 0. BA^→(−4 ; −2) et BC^→(−2 ; 4) : BA^→ · BC^→ = 8 − 8 = 0. Les vecteurs BA^→ et BC^→ sont non nuls et orthogonaux, donc les droites (BA) et (BC) sont perpendiculaires : le triangle ABC est rectangle en B.

Quand l'énoncé ne dit pas où est l'angle droit, une figure à main levée suggère le sommet à tester en premier ; les essais qui échouent s'écrivent quand même.

Exemple 2 · Dans un carré, sans repère

Énoncé. ABCD est un carré de côté a. I est le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. Démontrer que les droites (DI) et (AJ) sont perpendiculaires.

Rédaction. On pose u⃗ = AB^→ et v⃗ = AD^→. Comme ABCD est un carré, ‖u⃗‖ = ‖v⃗‖ = a et u⃗ · v⃗ = 0. Par la relation de Chasles, DI^→ = DA^→ + AI^→ = −v⃗ + ½ u⃗, et AJ^→ = AB^→ + BJ^→ = u⃗ + ½ v⃗, puisque BC^→ = AD^→. Par bilinéarité :

DI^→ · AJ^→ = ½ u⃗ · u⃗ + ¼ u⃗ · v⃗ − v⃗ · u⃗ − ½ v⃗ · v⃗ = ½ a² + 0 − 0 − ½ a² = 0.

Les deux vecteurs sont non nuls, donc (DI) et (AJ) sont perpendiculaires.

Le cercle de diamètre [AB], démontré

Soient A et B distincts et I le milieu de [AB]. Par Chasles, MA^→ = MI^→ + IA^→ et MB^→ = MI^→ + IB^→, avec IB^→ = −IA^→. Donc

MA^→ · MB^→ = (MI^→ + IA^→) · (MI^→ − IA^→) = MI² − IA² = MI² − AB²/4.

Ainsi MA^→ · MB^→ = 0 si et seulement si MI = AB/2 (distances positives) : l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon AB/2, le cercle de diamètre [AB]. Pour M distinct de A et B, on retrouve que AMB est rectangle en M si et seulement si M est sur ce cercle ; A et B vérifient l'égalité puisqu'un des vecteurs y est nul. L'identité MA^→ · MB^→ = MI² − AB²/4 sert aussi hors du cas nul (exercice 3).

La figure place A(−1 ; 0), B(3 ; 0) et leur milieu I(1 ; 0), puis M(2 ; √3) avec son angle droit marqué en or, puis M′(0 ; −√3) avec le sien, et seulement ensuite le cercle de centre I et de rayon 2, qui passe par les deux. Pour M, MA^→(−3 ; −√3) et MB^→(1 ; −√3) donnent −3 + 3 = 0. En coordonnées, MA^→ · MB^→ = 0 s'écrit (x + 1)(x − 3) + y² = 0, soit (x − 1)² + y² = 4 : l'équation du cercle de centre I et de rayon 2. L'angle droit ne dépend que de la distance MI.

Les erreurs sur l'orthogonalité qui coûtent des points

• Conclure sur des droites sans vérifier que les vecteurs sont non nuls.
• Appliquer xx′ + yy′ dans un repère non orthonormé.
• Supposer l'angle droit pour le démontrer.
• Confondre les coordonnées de BA^→ et de AB^→ : arrivée moins départ.

Trois exercices corrigés sur l'orthogonalité

Exercice 1 · Lequel de ces couples est orthogonal ?

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(6 ; −4), v⃗(2 ; 3) et w⃗(3 ; 5). Déterminer les couples de vecteurs orthogonaux.

Correction. u⃗ · v⃗ = 6 × 2 + (−4) × 3 = 12 − 12 = 0. u⃗ · w⃗ = 18 − 20 = −2. v⃗ · w⃗ = 6 + 15 = 21. Seuls u⃗ et v⃗ sont orthogonaux. Le produit u⃗ · w⃗ est proche de 0 : sur une figure, l'angle entre u⃗ et w⃗ paraît presque droit : le calcul seul tranche.

Exercice 2 · Quand les diagonales d'un rectangle sont-elles perpendiculaires ?

Énoncé. ABCD est un rectangle avec AB = L et AD = ℓ. Calculer AC^→ · BD^→ et en déduire à quelle condition les diagonales sont perpendiculaires.

Correction. On pose u⃗ = AB^→ et v⃗ = AD^→, avec u⃗ · v⃗ = 0, u⃗ · u⃗ = L² et v⃗ · v⃗ = ℓ². Alors AC^→ = u⃗ + v⃗ et BD^→ = BA^→ + AD^→ = v⃗ − u⃗. Donc AC^→ · BD^→ = (u⃗ + v⃗) · (v⃗ − u⃗) = v⃗ · v⃗ − u⃗ · u⃗ = ℓ² − L². Les diagonales, qui sont des vecteurs non nuls, sont perpendiculaires si et seulement si ℓ² = L², c'est-à-dire ℓ = L puisque les longueurs sont positives : le rectangle est alors un carré.

Exercice 3 · Les lignes de niveau de MA · MB

Énoncé. A et B sont deux points tels que AB = 4, et I est le milieu de [AB]. Déterminer l'ensemble des points M tels que MA^→ · MB^→ = 5, puis l'ensemble des points M tels que MA^→ · MB^→ = −4, puis tels que MA^→ · MB^→ = −5.

Correction. On a démontré que MA^→ · MB^→ = MI² − AB²/4 = MI² − 4. Première condition : MI² − 4 = 5 équivaut à MI² = 9, soit MI = 3 car MI ≥ 0 ; l'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. Deuxième condition : MI² = 0, soit M = I ; l'ensemble est réduit au point I. Troisième condition : MI² = −1, impossible ; l'ensemble est vide. On voit que MA^→ · MB^→ ne peut pas descendre en dessous de −4, et que cette valeur minimale est atteinte au milieu de [AB].

Le critère u⃗ · v⃗ = 0 sert ensuite à trouver un vecteur normal et écrire une équation cartésienne de droite ; quand le cosinus vaut 0, le théorème d'Al-Kashi redonne Pythagore.