Équation d'un cercle : (x − a)² + (y − b)² = r², la reconnaître et s'en servir

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 (partie « Géométrie repérée », repère orthonormé) demande de « déterminer et utiliser l'équation d'un cercle donné par son centre et son rayon » et de « reconnaître une équation de cercle, déterminer centre et rayon ». La partie sur le produit scalaire en première ajoute la démonstration du cercle de diamètre [AB] ; l'intersection avec une droite parallèle à un axe est proposée en approfondissement.

D'où vient (x − a)² + (y − b)² = r²

Le cercle 𝒞 de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l'ensemble des points M tels que ΩM = r. Une distance étant positive, ΩM = r équivaut à ΩM² = r². En repère orthonormé, ΩM² = (x − a)² + (y − b)², formule de la distance qui repose sur Pythagore, donc sur des axes perpendiculaires et de même unité. D'où :

M(x ; y) ∈ 𝒞 ⇔ (x − a)² + (y − b)² = r².

C'est une équivalence : elle sert à tester si un point est sur le cercle et à calculer des points du cercle. Le carré évite la racine √((x − a)² + (y − b)²), qui alourdirait tous les calculs.

Reconnaître un cercle sous sa forme développée

En développant, on obtient x² + y² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0 : x² et y² ont le même coefficient et il n'y a pas de terme en xy. Réciproquement, partant de x² + y² + αx + βy + γ = 0, on complète chaque carré comme pour la forme canonique d'un trinôme :

x² + αx = (x + α/2)² − α²/4 et y² + βy = (y + β/2)² − β²/4.

L'équation devient (x + α/2)² + (y + β/2)² = k, avec k = α²/4 + β²/4 − γ. Si k > 0, c'est le cercle de centre (−α/2 ; −β/2) et de rayon √k. Si k = 0, une somme de deux carrés n'est nulle que si chacun l'est : l'ensemble est réduit au point (−α/2 ; −β/2). Si k < 0, une somme de carrés étant positive, l'ensemble est vide. On conclut sur ce signe avant de parler de cercle : les sujets exigeants glissent volontiers une équation qui ne décrit rien.

Exemple 1 · Retrouver le centre et le rayon

Énoncé. Dans un repère orthonormé, déterminer la nature de l'ensemble 𝒞 des points M(x ; y) tels que x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0.

Rédaction. x² − 4x = (x − 2)² − 4 et y² + 6y = (y + 3)² − 9. L'équation équivaut donc à (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Comme 25 = 5² > 0, 𝒞 est le cercle de centre C(2 ; −3) et de rayon 5.

Exemple 2 · Une équation qui ne décrit aucun point

Énoncé. Même question avec x² + y² + 2x − 4y + 6 = 0.

Rédaction. x² + 2x = (x + 1)² − 1 et y² − 4y = (y − 2)² − 4. L'équation équivaut à (x + 1)² + (y − 2)² = 1 + 4 − 6 = −1. Le membre de gauche est positif ou nul pour tout point du plan, il ne peut valoir −1 : l'ensemble est vide. Répondre « cercle de rayon √−1 » ou « de rayon 1 » est faux.

Le cercle de diamètre [AB] et MA^→ · MB^→ = 0

Soient A et B deux points distincts et I le milieu de [AB]. Pour tout point M, on décompose avec I, en utilisant IB^→ = −IA^→ :

MA^→ · MB^→ = (MI^→ + IA^→) · (MI^→ − IA^→) = MI² − IA² = MI² − AB²/4.

Donc MA^→ · MB^→ = 0 ⇔ MI² = AB²/4 ⇔ MI = AB/2. L'ensemble des points M tels que MA^→ · MB^→ = 0 est le cercle de diamètre [AB]. C'est l'une des démonstrations listées par le programme, et elle donne la caractérisation du triangle rectangle : M ≠ A, B est sur ce cercle si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M. En coordonnées, elle fournit l'équation sans calculer ni centre ni rayon.

Exemple 3 · Équation du cercle de diamètre [AB]

Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(−1 ; 2) et B(5 ; 4). Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB].

Rédaction. M(x ; y) appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA^→ · MB^→ = 0. Avec MA^→(−1 − x ; 2 − y) et MB^→(5 − x ; 4 − y), cela s'écrit (x + 1)(x − 5) + (y − 2)(y − 4) = 0, soit x² + y² − 4x − 6y + 3 = 0. Contrôle : en complétant les carrés, (x − 2)² + (y − 3)² = 4 + 9 − 3 = 10. Le centre (2 ; 3) est bien le milieu de [AB], et le rayon √10 est bien la moitié de AB = √(36 + 4) = √40 = 2√10.

Couper un cercle par une droite, écrire une tangente

Pour l'intersection avec une droite parallèle à un axe, on remplace la coordonnée fixée dans l'équation du cercle. Avec le cercle de l'exemple 1 et la droite y = 1 : (x − 2)² + 16 = 25, soit (x − 2)² = 9, donc x − 2 = 3 ou x − 2 = −3. Les points d'intersection sont P(−1 ; 1) et T(5 ; 1). La droite y = 3, elle, donnerait (x − 2)² = 25 − 36 < 0 : pas d'intersection. Et y = 2 donnerait (x − 2)² = 0, un seul point (2 ; 2) : la droite est tangente au cercle.

La tangente au cercle en un point T est la droite passant par T et perpendiculaire au rayon [CT]. Le vecteur CT^→ en est donc un vecteur normal, et l'on écrit son équation cartésienne comme pour n'importe quelle droite. En T(5 ; 1), CT^→(3 ; 4) et la tangente a pour équation 3(x − 5) + 4(y − 1) = 0, soit 3x + 4y − 19 = 0.

Les erreurs sur l'équation d'un cercle qui coûtent des points

• Le signe du centre. (x + 3)² + (y − 1)² = 16 a pour centre (−3 ; 1), pas (3 ; −1) : réécrire x + 3 sous la forme x − (−3) tant que le réflexe n'est pas installé.
• Le rayon. Dans (x − 2)² + (y + 3)² = 25, le rayon est 5, pas 25.
• La complétion des carrés. Oublier de soustraire α²/4 et β²/4 décale tout ; redévelopper la forme obtenue doit redonner l'équation de départ.
• « C'est un cercle » sans regarder le signe de k, ou pour 2x² + y² − 4 = 0, où les coefficients de x² et y² diffèrent.

Trois exercices corrigés sur l'équation d'un cercle

Exercice 1 · Écrire l'équation, situer deux points

Énoncé. Dans un repère orthonormé, écrire une équation du cercle 𝒞 de centre Ω(−3 ; 1) et de rayon 4, sous forme développée. Les points P(1 ; 1) et Q(0 ; 4) appartiennent-ils à 𝒞 ?

Correction. 𝒞 : (x + 3)² + (y − 1)² = 16. En développant : x² + 6x + 9 + y² − 2y + 1 − 16 = 0, soit x² + y² + 6x − 2y − 6 = 0. Pour P : (1 + 3)² + (1 − 1)² = 16, donc P ∈ 𝒞. Pour Q : (0 + 3)² + (4 − 1)² = 9 + 9 = 18 ≠ 16, donc Q ∉ 𝒞 ; comme ΩQ² = 18 > 16, Q est même à l'extérieur du cercle.

Exercice 2 · Deux équations, deux natures

Énoncé. Déterminer la nature de chacun des ensembles d'équations x² + y² − 6x + 8y = 0 et x² + y² − 2x + 4y + 9 = 0.

Correction. Pour la première : (x − 3)² − 9 + (y + 4)² − 16 = 0, soit (x − 3)² + (y + 4)² = 25. C'est le cercle de centre (3 ; −4) et de rayon 5. Il passe par l'origine, puisque le terme constant est nul, ce que confirme 3² + 4² = 25. Pour la seconde : (x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 + 9 = 0, soit (x − 1)² + (y + 2)² = −4 < 0. L'ensemble est vide.

Exercice 3 · Le cercle passant par trois points

Énoncé. Dans un repère orthonormé d'origine O, A(0 ; 2) et B(4 ; 2). Déterminer le centre et le rayon du cercle passant par O, A et B, en donner une équation, puis ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Correction. Le centre Ω est à égale distance de O et A : il est sur la médiatrice de [OA], la droite y = 1. Il est aussi à égale distance de A et B : il est sur la médiatrice de [AB], la droite x = 2. Donc Ω(2 ; 1), et le rayon vaut ΩO = √(4 + 1) = √5. Une équation est (x − 2)² + (y − 1)² = 5 ; contrôle avec B : 4 + 1 = 5. Sur l'axe des abscisses, y = 0 : (x − 2)² + 1 = 5, soit (x − 2)² = 4, donc x = 0 ou x = 4. Les points d'intersection sont O(0 ; 0) et (4 ; 0). Le cercle étant circonscrit au triangle OAB rectangle en A, son centre est le milieu de l'hypoténuse [OB], ce qu'on retrouve : le milieu de [OB] est bien (2 ; 1).

Ce que montre la figure de l'équation d'un cercle

La figure se construit dans cet ordre : le centre C(2 ; −3), puis le cercle de rayon 5 de l'exemple 1 avec son équation, puis la droite y = 1 et ses deux points P(−1 ; 1) et T(5 ; 1), symétriques par rapport à la verticale x = 2, puis le rayon [CT] décomposé en pointillés bleus, 3 vers la droite et 4 vers le haut, et enfin la tangente en T, en or. La décomposition, c'est Pythagore : 3² + 4² = 25 = 5², exactement ce que vérifie (x − 2)² + (y + 3)² = 25 en T. La tangente ne touche le cercle qu'en T et fait un angle droit avec [CT] : CT^→ est son vecteur normal. Avec des unités différentes sur les axes, le même cercle serait dessiné comme une ellipse : le repère orthonormé est indispensable.