Produit scalaire en première : la formule avec le cosinus, la projection, et quand choisir laquelle

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un réel. Pour deux vecteurs non nuls, il est positif quand l'angle entre eux est aigu, nul quand ils sont orthogonaux, négatif quand l'angle est obtus. Le programme de première (rentrée 2026) l'introduit par le cosinus et par la projection, puis ajoute les coordonnées et les normes ; chaque méthode a sa page détaillée.

La définition par le cosinus

Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs non nuls et θ une mesure de l'angle (u⃗ ; v⃗) : u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ ; si l'un des deux est nul, u⃗ · v⃗ = 0. Le cosinus étant pair, on peut prendre l'angle géométrique, entre 0 et π. Si u⃗ et v⃗ sont colinéaires de même sens, u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ ; de sens contraires, −‖u⃗‖ × ‖v⃗‖. En particulier u⃗ · u⃗ = u⃗² = ‖u⃗‖².

La projection orthogonale, démontrée

Soient A, B, C avec A ≠ B, et H le projeté orthogonal de C sur (AB). Alors AB^→ · AC^→ = AB^→ · AH^→, soit AB × AH si AB^→ et AH^→ sont de même sens, −AB × AH sinon.

Démonstration. Si C est sur (AB), H = C. Sinon, notons θ l'angle géométrique BAC. Si θ est aigu, H est sur [AB) et AHC est rectangle en H, donc AH = AC × cos θ et AB × AC × cos θ = AB × AH. Si θ est obtus, H est sur la demi-droite opposée, l'angle CAH vaut π − θ, donc AH = −AC × cos θ et AB × AC × cos θ = −AB × AH. Si θ est droit, H = A et tout vaut 0.

La figure le montre avec A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(2 ; 4) : u⃗ = AB^→ se trace, puis v⃗ = AC^→ et l'angle θ, puis le pointillé qui tombe de C en H(2 ; 0), puis le segment [AH] en or, enfin le calcul par le cosinus. AB × AH = 6 × 2 = 12 ; par le cosinus, ‖u⃗‖ = 6, ‖v⃗‖ = √20, cos θ = 2/√20, et 6 × √20 × 2/√20 = 12 ; par les coordonnées, 6 × 2 + 0 × 4 = 12. Seul compte, dans v⃗, ce qui se projette sur la direction de u⃗.

Symétrie, bilinéarité et identités

Pour tous vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ et tout réel k : u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ ; u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ ; (ku⃗) · v⃗ = k(u⃗ · v⃗). On développe donc comme avec des nombres : ‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖², ‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖², (u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗) = ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖². Ces identités donnent le produit scalaire avec les normes et mènent au théorème d'Al-Kashi. Il n'existe pas de produit scalaire de trois vecteurs : u⃗ · v⃗ est un nombre.

Dans une base orthonormée (i⃗, j⃗), les coordonnées d'un vecteur se lisent par produit scalaire : si u⃗ = xi⃗ + yj⃗, alors u⃗ · i⃗ = x(i⃗ · i⃗) + y(j⃗ · i⃗) = x, et de même u⃗ · j⃗ = y. Donc u⃗ = (u⃗ · i⃗) i⃗ + (u⃗ · j⃗) j⃗ ; le programme 2026 l'ajoute explicitement.

Choisir la méthode d'après l'énoncé

Le programme demande de « calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée ». Un angle et deux longueurs : le cosinus. Une figure à angles droits (carré, rectangle) où les projetés tombent sur des points connus : la projection. Trois longueurs d'un triangle, ou côtés et diagonale d'un parallélogramme : les normes. Un repère orthonormé : xx′ + yy′, voir produit scalaire avec les coordonnées. Sinon, on décompose avec Chasles. L'usage principal, démontrer une perpendicularité, est traité dans produit scalaire et orthogonalité.

Exemple 1 (projection). ABCD est un carré de côté 4 et I le milieu de [CD]. Calculer AB^→ · AI^→, AB^→ · AC^→ et AB^→ · CD^→.

Le projeté orthogonal de I sur (AB) est le milieu J de [AB], car (IJ) est parallèle à (AD), donc perpendiculaire à (AB). AB^→ et AJ^→ sont de même sens : AB^→ · AI^→ = 4 × 2 = 8. Le projeté de C sur (AB) est B : AB^→ · AC^→ = AB² = 16. CD^→ = −AB^→, donc AB^→ · CD^→ = −16.

Exemple 2 (coordonnées puis cosinus). En repère orthonormé, u⃗(2 ; 1) et v⃗(1 ; 3). Déterminer l'angle entre u⃗ et v⃗.

u⃗ · v⃗ = 2 × 1 + 1 × 3 = 5, ‖u⃗‖ = √5, ‖v⃗‖ = √10. Donc cos θ = 5/(√5 × √10) = 1/√2 = √2/2, et θ = π/4.

Les erreurs sur le produit scalaire qui coûtent des points

• L'angle mal lu. Dans un triangle équilatéral ABC, (AB^→ ; AC^→) mesure π/3 mais (AB^→ ; BC^→) mesure 2π/3 : on place les deux vecteurs à la même origine avant de lire l'angle.
• Le signe oublié dans la projection. J'exige la phrase « AB^→ et AH^→ sont de même sens » (ou « de sens contraires ») avant le calcul.
• u⃗² confondu avec ‖u⃗‖. u⃗² = ‖u⃗‖², sans racine.
• « Simplifier » u⃗ · v⃗ = u⃗ · w⃗ en v⃗ = w⃗. L'égalité dit seulement que u⃗ est orthogonal à v⃗ − w⃗.

Trois exercices corrigés sur le produit scalaire

Exercice 1 · ABC est un triangle équilatéral de côté 6. Calculer AB^→ · AC^→ puis AB^→ · BC^→.

L'angle entre AB^→ et AC^→ est l'angle BAC du triangle, qui mesure π/3. AB^→ · AC^→ = 6 × 6 × cos(π/3) = 36 × 1/2 = 18.

Pour AB^→ · BC^→, on ramène les deux vecteurs à la même origine : BC^→ est le vecteur qui part de B, et l'angle entre AB^→ et BC^→ est le supplémentaire de l'angle ABC, soit π − π/3 = 2π/3. AB^→ · BC^→ = 6 × 6 × cos(2π/3) = 36 × (−1/2) = −18.

Autre rédaction : AB^→ · BC^→ = −BA^→ · BC^→ = −(6 × 6 × cos(π/3)) = −18.

Exercice 2 · ABCD est un rectangle avec AB = 8 et AD = 5. Calculer AB^→ · AC^→, AB^→ · CA^→ et AC^→ · BD^→.

Le projeté orthogonal de C sur (AB) est B, donc AB^→ · AC^→ = AB^→ · AB^→ = AB² = 64.

CA^→ = −AC^→, donc AB^→ · CA^→ = −64.

Pour AC^→ · BD^→, on décompose avec la relation de Chasles : AC^→ = AB^→ + AD^→ (car ABCD est un parallélogramme) et BD^→ = BA^→ + AD^→ = AD^→ − AB^→. Par bilinéarité, AC^→ · BD^→ = (AD^→ + AB^→) · (AD^→ − AB^→) = AD² − AB² = 25 − 64 = −39. Le résultat est négatif : les diagonales d'un rectangle qui n'est pas un carré ne sont pas perpendiculaires, et l'angle entre ces deux vecteurs est obtus.

Exercice 3 · Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2), B(5 ; 4), C(2 ; 6). Calculer AB^→ · AC^→, une mesure de l'angle BAC au dixième de degré, puis la distance AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).

AB^→(4 ; 2) et AC^→(1 ; 4), donc AB^→ · AC^→ = 4 × 1 + 2 × 4 = 12.

AB = √(16 + 4) = √20 et AC = √(1 + 16) = √17. Par la formule avec le cosinus, cos(BAC) = 12/(√20 × √17) = 12/√340 ≈ 0,6508, d'où BAC ≈ 49,4°.

Le produit scalaire est positif, donc H est du même côté de A que B, et AB^→ · AC^→ = AB × AH. On en tire AH = 12/AB = 12/√20 = 6/√5 = 6√5/5 ≈ 2,68. On peut contrôler : AH^→ = (12/20) AB^→ donne H(3,4 ; 3,2), et CH^→(1,4 ; −2,8) vérifie CH^→ · AB^→ = 5,6 − 5,6 = 0.