Forme canonique d'un polynôme du second degré : compléter le carré pas à pas

Un même polynôme du second degré a plusieurs écritures : la forme développée x² − 6x + 5 donne l'image de 0, la forme factorisée (x − 1)(x − 5) les racines, la forme canonique (x − 3)² − 4 le sommet de la parabole, donc l'extremum et les variations. Elle a sa place dans le chapitre sur le second degré en première, avant le discriminant, qui en découle.

Lire a(x − α)² + β : le sommet est dans la formule

Soit f définie sur ℝ par f(x) = a(x − α)² + β, avec a ≠ 0. Pour tout réel x, (x − α)² ≥ 0, avec égalité si et seulement si x = α.

• Si a > 0, alors f(x) ≥ β pour tout x, et f(α) = β : f admet un minimum égal à β, atteint en α ; elle est décroissante sur ]−∞ ; α] et croissante sur [α ; +∞[.
• Si a < 0, alors f(x) ≤ β : f admet un maximum égal à β, atteint en α ; elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[.

La parabole a pour sommet S(α ; β) et pour axe de symétrie la droite d'équation x = α ; le coefficient a est le même que dans la forme développée. Attention au signe : f(x) = 2(x + 2)² − 5 s'écrit 2(x − (−2))² + (−5), donc α = −2, et non 2.

La figure part de la parabole y = x² en pointillés gris, montre la flèche dorée qui va de l'origine à S(3 ; −4), trace la parabole bleue de f(x) = (x − 3)² − 4, puis place l'axe, le sommet et enfin les racines. Les deux courbes ont la même forme : remplacer x par x − 3 décale la courbe de 3 vers la droite, ajouter −4 la descend de 4. Les racines 1 et 5 sont symétriques par rapport à l'axe x = 3 = α, et la plus petite ordonnée de la courbe est −4 = β.

Compléter le carré, étape par étape

L'outil est l'identité remarquable lue à l'envers : x² + 2kx = (x + k)² − k². On reconnaît dans x² + 2kx le début d'un carré, on écrit ce carré, puis on retire ce qu'on a ajouté en trop. Le programme demande cette complétion du carré « dans des cas simples » ; le calcul de la forme canonique avec a, b, c quelconques n'est pas exigé.

La méthode, pour f(x) = ax² + bx + c :

1. Si a ≠ 1, mettre a en facteur dans les deux premiers termes seulement : f(x) = a(x² + (b/a)x) + c.
2. Écrire le coefficient de x sous la forme 2k : k est la moitié de ce coefficient.
3. Remplacer x² + 2kx par (x + k)² − k².
4. Redistribuer a sur les deux termes du crochet, puis réduire la constante.
5. Vérifier en développant, ou en calculant f(α), qui doit valoir β.

Un cas sans coefficient devant x² : f(x) = x² − 6x + 5

Le coefficient de x est −6 = 2 × (−3), donc k = −3. On écrit x² − 6x = (x − 3)² − 9.

f(x) = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.

Ainsi α = 3 et β = −4. Comme a = 1 > 0, f admet un minimum égal à −4, atteint en x = 3. Contrôle : f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.

Un coefficient a ≠ 1 : g(x) = 2x² + 8x + 3

On met 2 en facteur dans les deux premiers termes : g(x) = 2(x² + 4x) + 3.

x² + 4x = (x + 2)² − 4, donc g(x) = 2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5.

α = −2, β = −5. Le minimum de g vaut −5 et il est atteint en −2. Contrôle : g(−2) = 8 − 16 + 3 = −5.

Un coefficient négatif et une moitié fractionnaire : h(x) = −x² + 5x − 4

h(x) = −(x² − 5x) − 4. Le coefficient de x dans la parenthèse est −5 = 2 × (−5/2).

x² − 5x = (x − 5/2)² − 25/4, donc h(x) = −[(x − 5/2)² − 25/4] − 4 = −(x − 5/2)² + 25/4 − 16/4 = −(x − 5/2)² + 9/4.

α = 5/2 et β = 9/4. Comme a = −1 < 0, h admet un maximum égal à 9/4, atteint en x = 5/2. La parabole est tournée vers le bas.

On peut aller plus loin : h(x) = 9/4 − (x − 5/2)² est une différence de deux carrés, (3/2)² − (x − 5/2)², donc h(x) = (3/2 − x + 5/2)(3/2 + x − 5/2) = (4 − x)(x − 1). Les racines 1 et 4 apparaissent sans discriminant : c'est le mécanisme de la démonstration générale, présentée dans l'article sur le discriminant.

Pourquoi α = −b/(2a) et β = f(α)

En développant a(x − α)² + β, on obtient ax² − 2aαx + aα² + β. Deux polynômes égaux pour tout réel x ont les mêmes coefficients, donc b = −2aα, d'où α = −b/(2a) ; et f(α) = a × 0 + β = β. Sur g(x) = 2x² + 8x + 3 : α = −8/4 = −2 et β = g(−2) = −5. Si le sujet dit « mettre sous forme canonique », le calcul du carré doit figurer sur la copie ; ces formules servent au contrôle. Et β n'est pas c : dans x² − 6x + 5, c = 5 alors que β = −4.

Quand la forme canonique est la bonne écriture

Les sujets ne disent pas toujours « mettre sous forme canonique » ; ils demandent un maximum, une aire optimale, des variations.

• Un extremum ou des variations sans dérivée : la forme canonique donne la valeur extrême et le point où elle est atteinte ; la dérivée, une fois vue, doit concorder.
• Une équation f(x) = k : (x − 3)² − 4 = 5 équivaut à (x − 3)² = 9, soit x − 3 = 3 ou x − 3 = −3, donc x = 6 ou x = 0.
• Une inégalité valable pour tout x : x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0, sans discriminant. Le lien avec le signe d'un trinôme est immédiat.

Les erreurs sur la forme canonique qui coûtent des points

• Le signe de α : (x + 2)² correspond à α = −2.
• Le facteur a oublié sur la constante : 2(x + 2)² − 4 + 3 au lieu de 2(x + 2)² − 8 + 3. C'est l'erreur la plus fréquente ; le développement de contrôle la détecte.
• a mis en facteur sur les trois termes : 2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x + 3) est faux.
• La moitié du coefficient : pour x² − 5x, k = −5/2, pas −5.
• Minimum et point où il est atteint : le minimum est β, une valeur de f ; α est une abscisse.

Trois exercices corrigés sur la forme canonique

Exercice 1 · Écrire sous forme canonique f(x) = x² + 10x + 7 et donner le sommet de sa parabole.

10 = 2 × 5, donc x² + 10x = (x + 5)² − 25.

f(x) = (x + 5)² − 25 + 7 = (x + 5)² − 18.

α = −5, β = −18 : le sommet est S(−5 ; −18). Contrôle : f(−5) = 25 − 50 + 7 = −18.

Exercice 2 · Soit f(x) = 3x² − 12x + 1. Déterminer sa forme canonique, puis son extremum et ses variations.

f(x) = 3(x² − 4x) + 1. Or x² − 4x = (x − 2)² − 4.

f(x) = 3[(x − 2)² − 4] + 1 = 3(x − 2)² − 12 + 1 = 3(x − 2)² − 11.

a = 3 > 0 : f admet un minimum égal à −11, atteint en x = 2. f est décroissante sur ]−∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[.

Contrôle : α = −b/(2a) = 12/6 = 2 et f(2) = 12 − 24 + 1 = −11.

Exercice 3 · Un enclos rectangulaire est adossé à un mur. On dispose de 40 m de grillage pour les trois autres côtés. Quelle aire maximale peut-on clore ?

On note x la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Le côté parallèle au mur mesure 40 − 2x, ce qui impose 0 < x < 20.

L'aire vaut A(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x.

Forme canonique : A(x) = −2(x² − 20x) = −2[(x − 10)² − 100] = −2(x − 10)² + 200.

Pour tout x de ]0 ; 20[, −2(x − 10)² ≤ 0, donc A(x) ≤ 200, avec égalité pour x = 10, qui appartient bien à l'intervalle : cette vérification fait partie de la réponse.

L'aire maximale est 200 m², obtenue avec deux côtés de 10 m perpendiculaires au mur et un côté de 20 m parallèle au mur.