Équation de la tangente en un point : la formule démontrée et trois cas de DS

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 place la tangente dans le point de vue local de la dérivation et range sa démonstration parmi les démonstrations exigibles. Pour le sens du nombre dérivé, voir nombre dérivé et tangente ; pour le chapitre entier, la dérivation en première.

D'où vient y = f′(a)(x − a) + f(a)

Soit f une fonction dérivable en un réel a de son ensemble de définition, et 𝒞 sa courbe dans un repère. Par définition, la tangente à 𝒞 au point A(a ; f(a)) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est f′(a).

Démonstration. Cette droite n'est pas verticale, puisqu'elle a un coefficient directeur. Elle a donc une équation de la forme y = f′(a)x + p, où p est un réel à déterminer. Elle passe par A, donc f(a) = f′(a) × a + p, d'où p = f(a) − a f′(a). En reportant :

y = f′(a)x + f(a) − a f′(a) = f′(a)(x − a) + f(a).

C'est le raisonnement de seconde pour une droite connaissant un point et la pente ; seule la pente est nouvelle. Savoir refaire la démonstration évite l'erreur de signe dans x − a.

La méthode en quatre lignes

1. Calculer f(a).
2. Calculer f′(x) avec les dérivées usuelles, puis f′(a).
3. Écrire y = f′(a)(x − a) + f(a) avec les valeurs.
4. Développer pour donner l'équation réduite, et vérifier que la droite passe par A.

Exemple corrigé 1 : un trinôme

Énoncé. Soit f(x) = x² − 4x + 1 sur ℝ et 𝒞 sa courbe. Déterminer une équation de la tangente T à 𝒞 au point d'abscisse 3.

Rédaction. f(3) = 9 − 12 + 1 = −2. La fonction f est dérivable sur ℝ comme fonction polynôme et f′(x) = 2x − 4, donc f′(3) = 6 − 4 = 2. Une équation de T est y = f′(3)(x − 3) + f(3), soit y = 2(x − 3) − 2, c'est-à-dire

T : y = 2x − 8.

Vérification : pour x = 3, 2 × 3 − 8 = −2 = f(3). La droite passe bien par A.

Exemple corrigé 2 : une tangente de pente imposée

Énoncé. Soit h(x) = x³ − 3x + 1. Existe-t-il des points de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = 9x ? Si oui, donner les équations de ces tangentes.

Rédaction. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc les réels a tels que h′(a) = 9. Or h′(x) = 3x² − 3, et 3a² − 3 = 9 ⇔ a² = 4 ⇔ a = 2 ou a = −2.

En a = 2 : h(2) = 8 − 6 + 1 = 3, la tangente est y = 9(x − 2) + 3 = 9x − 15.

En a = −2 : h(−2) = −8 + 6 + 1 = −1, la tangente est y = 9(x + 2) − 1 = 9x + 17.

Il y a donc deux points, (2 ; 3) et (−2 ; −1), où la tangente est parallèle à y = 9x.

Courbe au-dessus ou au-dessous de sa tangente

Pour la position relative de la courbe et de la tangente, on étudie le signe de la différence d(x) = f(x) − (mx + p). Sur l'exemple 1,

d(x) = x² − 4x + 1 − (2x − 8) = x² − 6x + 9 = (x − 3)².

Un carré est positif ou nul, donc pour tout réel x, f(x) ≥ 2x − 8 : la courbe est au-dessus de sa tangente en A, et ne la touche qu'en x = 3. Quand la courbe est une parabole, la différence se factorise toujours par (x − a)² : c'est la factorisation à chercher en premier.

Quatre façons de rater une tangente facile

• f′(x) au lieu de f′(a). Sur l'exemple 1, y = (2x − 4)(x − 3) − 2 = 2x² − 10x + 10, qui n'est pas une droite. Une équation finale qui contient x² est fausse.
• Le signe quand a est négatif. Pour g(x) = 1/x en a = −2 : g(−2) = −1/2, g′(−2) = −1/4, et y = −1/4 (x − (−2)) − 1/2 = −1/4 (x + 2) − 1/2, soit y = −x/4 − 1. J'exige la parenthèse x − (−2) écrite tant que l'automatisme n'est pas installé.
• f(a) faux, souvent sur un carré de nombre négatif : (−2)² vaut 4, pas −4. La vérification « la droite passe-t-elle par A ? » l'attrape.
• Une équation non développée, y = 2(x − 3) − 2, quand l'énoncé demande l'équation réduite.

Tangentes à trouver : trois exercices

Exercice 1 · Soit f(x) = 2x² − x + 3. Donner l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1.

f(1) = 2 − 1 + 3 = 4. f est dérivable sur ℝ et f′(x) = 4x − 1, donc f′(1) = 3.

La tangente a pour équation y = 3(x − 1) + 4, soit y = 3x + 1.

Vérification : 3 × 1 + 1 = 4 = f(1).

Exercice 2 · Soit f(x) = √x sur [0 ; +∞[. a) Équation de la tangente T au point d'abscisse 4. b) En déduire une valeur approchée de √4,4. c) Montrer que la courbe est sous T.

a) f(4) = 2. La racine carrée est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f′(x) = 1/(2√x), donc f′(4) = 1/4. T : y = 1/4 (x − 4) + 2, soit y = x/4 + 1.

b) Pour x proche de 4, √x ≈ x/4 + 1. Avec x = 4,4 : √4,4 ≈ 1,1 + 1 = 2,1. La calculatrice donne √4,4 ≈ 2,0976.

c) Pour x ≥ 0, x/4 + 1 − √x = (x − 4√x + 4)/4 = (√x − 2)²/4, en utilisant x = (√x)². Ce nombre est positif ou nul, donc √x ≤ x/4 + 1 pour tout x ≥ 0 : la courbe est sous sa tangente, qu'elle touche seulement en x = 4.

Exercice 3 · Déterminer les tangentes à la parabole y = x² qui passent par le point P(1 ; −3).

P n'est pas sur la parabole (1² = 1 ≠ −3), on ne connaît donc pas le point de contact. On le note a, inconnue.

Avec f(x) = x², f(a) = a² et f′(a) = 2a. La tangente au point d'abscisse a a pour équation y = 2a(x − a) + a², soit y = 2ax − a².

Elle passe par P si et seulement si −3 = 2a × 1 − a², c'est-à-dire a² − 2a − 3 = 0. Le discriminant vaut Δ = 4 + 12 = 16 > 0, d'où a = (2 − 4)/2 = −1 ou a = (2 + 4)/2 = 3.

Pour a = 3 : y = 6x − 9. Pour a = −1 : y = −2x − 1. Vérification avec P : 6 − 9 = −3 et −2 − 1 = −3. Il y a deux tangentes issues de P.

Le triangle de pente sur la figure

La figure reprend l'exemple 1 dans l'ordre du calcul : la parabole y = x² − 4x + 1 se trace en bleu nuit, le point A(3 ; −2) apparaît, puis le triangle de pente, la tangente en A et, pour finir, le sommet S avec sa tangente horizontale. La tangente dorée y = 2x − 8 touche la courbe en A sans la traverser et coupe l'axe des abscisses en 4. Le triangle en pointillés part de A : on avance de 1, on monte de 2, et on retombe sur la tangente en (4 ; 0) : c'est f′(3) = 2. Au sommet S(2 ; −3), la tangente est la droite horizontale y = −3, en pointillés bleus, parce que f′(2) = 0. Toute la parabole reste au-dessus de sa tangente en A, comme on l'a démontré avec (x − 3)².