Fonctions de référence en seconde : carré, inverse, valeur absolue, racine et cube

Le programme de seconde applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) donne les définitions et les courbes des fonctions valeur absolue, carré et inverse, demande le signe et les variations du carré et de la valeur absolue, et fait démontrer les variations du carré et de l'inverse ainsi que la position des courbes de y = x et y = x² pour x ≥ 0. La racine carrée et le cube apparaissent dans la capacité « résoudre graphiquement ou algébriquement f(x) = k, f(x) < k » : il faut donc connaître leurs courbes et leur sens de variation, sans démonstration exigée.

Cinq courbes à connaître par cœur

Carré. f(x) = x², définie sur ℝ. Pour tout réel x, x² ≥ 0, et x² = 0 seulement pour x = 0. La courbe est une parabole de sommet l'origine, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, puisque (−x)² = x². Minimum 0 atteint en 0.

Inverse. f(x) = 1/x, définie sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[. 1/x a le signe de x et ne s'annule jamais. La courbe est une hyperbole en deux morceaux, symétrique par rapport à l'origine, puisque 1/(−x) = −1/x ; elle se rapproche des axes sans les toucher.

Valeur absolue. |x| est la distance de x à 0 : |x| = x si x ≥ 0, |x| = −x si x ≤ 0. La courbe est formée de deux demi-droites issues de l'origine, portées par y = x et y = −x. Comme pour le carré, |x| ≥ 0, avec égalité seulement en 0.

Racine carrée. √x est, pour x ≥ 0, le nombre positif dont le carré vaut x. Elle est définie sur [0 ; +∞[, positive, croissante. Sur [0 ; +∞[, sa courbe est la symétrique de celle du carré par rapport à la droite y = x. Pour tout réel x, √(x²) = |x|, et non x.

Cube. f(x) = x³, définie sur ℝ, croissante, du signe de x, symétrique par rapport à l'origine.

Les trois démonstrations sur ces courbes

Le carré est croissant sur [0 ; +∞[. Soient a et b deux réels tels que 0 ≤ a < b. Alors b² − a² = (b − a)(b + a). Le facteur b − a est strictement positif, et b + a aussi, car b > 0 et a ≥ 0. Donc b² − a² > 0, c'est-à-dire a² < b². Si a < b ≤ 0, le même produit a un facteur b − a > 0 et un facteur b + a < 0 : b² − a² < 0, donc a² > b², et le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0].

L'inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ et sur ]−∞ ; 0[. Soient a et b deux réels non nuls de même signe, avec a < b. Alors 1/b − 1/a = (a − b)/(ab). Le numérateur a − b est strictement négatif ; le dénominateur ab est strictement positif, puisque a et b ont le même signe. Donc 1/b − 1/a < 0, soit 1/b < 1/a. L'hypothèse « même signe » est indispensable : −1 < 1 et pourtant 1/(−1) < 1/1. L'inverse n'est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles.

Position de y = x et y = x² pour x ≥ 0. x² − x = x(x − 1). Pour x ≥ 0, le signe est celui de x − 1. Sur [0 ; 1], x² − x ≤ 0, donc la parabole est sous la droite ; sur [1 ; +∞[, elle est au-dessus. Les deux courbes se coupent en (0 ; 0) et (1 ; 1). Élever au carré un nombre de [0 ; 1] le rend plus petit : 0,5² = 0,25.

Comparer f(a) et f(b) sans les calculer

La méthode tient en deux lignes. On vérifie que a et b sont dans un même intervalle où f est monotone. Puis on applique le sens de variation : une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante l'inverse. Si a et b ne sont pas dans un même intervalle de monotonie, on revient au signe ou au calcul.

Exemple 1 · Trois comparaisons

Énoncé. Comparer, sans calculatrice : a) (−1,7)² et (−1,9)² ; b) 1/π et 1/3 ; c) 1/(−0,4) et 1/(−0,3).

Rédaction. a) −1,9 < −1,7 ≤ 0 et la fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0], donc (−1,9)² > (−1,7)². Contrôle : 3,61 > 2,89.

b) 0 < 3 < π et la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[, donc 1/π < 1/3.

c) −0,4 < −0,3 < 0 et la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[, donc 1/(−0,4) > 1/(−0,3), soit −2,5 > −10/3.

Résoudre f(x) = k et f(x) < k

Graphiquement, on trace la droite horizontale y = k et l'on lit les abscisses des points de la courbe situés sur elle (équation), au-dessous ou au-dessus (inéquation). Algébriquement, on s'appuie sur ce que dit la courbe : pour k > 0, l'équation x² = k a deux solutions, −√k et √k ; pour k = 0, une seule ; pour k < 0, aucune. L'équation 1/x = k a, pour k ≠ 0, une seule solution 1/k, et aucune si k = 0. L'équation x³ = k a toujours une seule solution. L'équation √x = k a une solution, k², si k ≥ 0, et aucune si k < 0. Enfin, |x − a| ≤ r, pour r ≥ 0, signifie que la distance de x à a est au plus r : x ∈ [a − r ; a + r].

Exemple 2 · Deux inéquations avec le carré

Énoncé. Résoudre dans ℝ : a) x² ≤ 5 ; b) x² > 9.

Rédaction. a) La parabole coupe la droite y = 5 en x = −√5 et x = √5, et elle est au-dessous entre ces deux abscisses. S = [−√5 ; √5].

b) La parabole coupe y = 9 en −3 et 3, et elle est au-dessus en dehors de [−3 ; 3]. S = ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[. Écrire « x > 3 » seul perd la moitié des solutions : (−4)² = 16 > 9.

Exemple 3 · Une inéquation avec l'inverse

Énoncé. Résoudre 1/x ≥ 2.

Rédaction. L'inéquation n'a de sens que pour x ≠ 0. Si x < 0, 1/x < 0 < 2 : aucune solution. Si x > 0, on multiplie par x, positif, sans changer le sens : 1 ≥ 2x, soit x ≤ 1/2. S = ]0 ; 1/2]. Sur le graphique, seule la branche de droite passe au-dessus de y = 2, et elle le fait entre 0 (exclu) et 1/2.

Erreurs de signe et de domaine sur les copies

• « x² = 9 donc x = 3 » : la solution −3 est oubliée.
• « a < b donc a² < b² » sans regarder le signe : faux pour −3 < −2.
• « L'inverse est décroissante sur ℝ* », puis une comparaison entre un négatif et un positif.
• Multiplier une inéquation par x sans connaître son signe : 1/x ≥ 2 devient « 1 ≥ 2x », d'où des solutions négatives fausses.
• √(x²) = x : c'est |x|. Pour x = −3, √9 = 3.
• Encadrer x² en élevant les bornes au carré quand l'intervalle contient 0 (voir l'exercice 1).

Les cinq courbes tracées l'une après l'autre

Le repère est orthonormé, pour que la symétrie par rapport à y = x se voie. La parabole y = x² se trace d'abord, puis la courbe de la racine carrée part de l'origine vers la droite : sur [0 ; +∞[, elles sont symétriques l'une de l'autre. Vient la courbe du cube, qui traverse l'origine en s'aplatissant, puis les deux branches de l'hyperbole y = 1/x, une dans chaque quart de plan où x et 1/x ont le même signe. La valeur absolue s'ajoute en pointillés, en V. À la fin, trois points s'allument : (1 ; 1), commun aux cinq courbes, (−1 ; 1) pour le carré et la valeur absolue, (−1 ; −1) pour le cube et l'inverse. Entre 0 et 1, on voit la racine au-dessus de la droite y = x (non tracée, mais portée par la valeur absolue pour x ≥ 0) et la parabole en dessous.

Encadrer, résoudre : trois exercices

Exercice 1 · Encadrer x² quand x change de signe

Énoncé. On sait que −3 ≤ x ≤ 2. Donner le meilleur encadrement possible de x².

Correction. L'intervalle [−3 ; 2] contient 0, où le carré change de sens. Sur [−3 ; 0], le carré est décroissant : 0 ≤ x² ≤ 9. Sur [0 ; 2], il est croissant : 0 ≤ x² ≤ 4. En réunissant, 0 ≤ x² ≤ 9, et les deux bornes sont atteintes (en 0 et en −3). Élever les bornes au carré aurait donné « 9 ≤ x² ≤ 4 », qui n'a pas de sens.

Exercice 2 · Valeur absolue et racine carrée

Énoncé. Résoudre a) |x − 2| ≤ 3 ; b) √x < 3.

Correction. a) La distance de x à 2 est au plus 3 : x ∈ [2 − 3 ; 2 + 3] = [−1 ; 5].

b) L'inéquation impose x ≥ 0. Sur [0 ; +∞[, √x et 3 sont positifs et le carré y est croissant : √x < 3 équivaut à x < 9. S = [0 ; 9[. Oublier la condition x ≥ 0 donne ]−∞ ; 9[, qui contient des nombres sans racine carrée.

Exercice 3 · Inverse et cube, avec un signe négatif

Énoncé. a) Résoudre 1/x > −2. b) Résoudre x³ = −8.

Correction. a) Pour x > 0, 1/x > 0 > −2 : tous les réels strictement positifs conviennent. Pour x < 0, on multiplie par x, négatif, ce qui change le sens : 1 < −2x, soit x < −1/2. S = ]−∞ ; −1/2[ ∪ ]0 ; +∞[. Sur la figure, la branche de gauche passe au-dessus de y = −2 avant l'abscisse −1/2.

b) La fonction cube est croissante sur ℝ, donc l'équation a une seule solution. Comme (−2)³ = −8, S = {−2}. Contrairement au carré, il n'y a pas de seconde solution : 2³ = 8.

La fonction affine, première fonction de référence, a son propre article : fonction affine. La parabole y = x² devient en première celle d'un trinôme quelconque, dans le chapitre sur le second degré.