Le second degré en première : trois écritures d'une même fonction

Trinôme, polynôme ou fonction du second degré : c'est le même objet, une expression ax² + bx + c avec a ≠ 0. Cette page en donne la carte ; chaque partie a sa page détaillée, avec démonstrations et exercices, vers laquelle je renvoie au bon endroit.

Le programme de spécialité applicable à la rentrée 2026 garde le contenu habituel : racines, signe, somme et produit des racines, forme canonique, discriminant, résolution de l'équation, dont la démonstration est exigible. Il change l'insistance. Il cite en premier la fonction « donnée sous forme factorisée », dont on étudie les racines et le signe. La forme canonique se trouve « dans des cas simples » par complétion du carré, à partir de x² + 2ax = (x + a)² − a² ; le cas général « n'est pas un attendu du programme ». Et il demande de factoriser « en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales ». Le discriminant devient un outil parmi quatre, pas le premier réflexe : « factoriser x² − 9x + 20 » se traite de tête.

Une fonction, trois écritures, trois lectures

Prenons f(x) = 2x² − 4x − 6, qui servira tout au long de la page. Elle s'écrit de trois façons égales pour tout réel x :

La forme développée existe toujours. La forme canonique aussi. La forme factorisée dépend du discriminant : deux racines distinctes si Δ > 0, une racine double si Δ = 0, et aucune factorisation dans ℝ si Δ < 0. Ici Δ = (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64.

Pourquoi la parabole a un axe de symétrie

La forme canonique le démontre en une ligne. Pour tout réel h, f(α + h) = a·h² + β et f(α − h) = a·(−h)² + β = a·h² + β. Les deux points de la courbe d'abscisses α + h et α − h ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = α. Pour f, f(1 + h) = f(1 − h) = 2h² − 8.

Deux conséquences servent tout le temps. Le sommet est le point le plus bas si a > 0, le plus haut si a < 0, puisque a·h² ≥ 0 ou ≤ 0 selon le signe de a ; β est donc un minimum ou un maximum. Et quand il y a deux racines, elles sont symétriques par rapport à l'axe, donc α = (x₁ + x₂)/2 : avec −1 et 3, on retrouve α = 1 sans calcul.

La démonstration exigée par le programme, la résolution de ax² + bx + c = 0, part elle aussi de la forme canonique ; elle est rédigée en entier sur la page du discriminant.

La parabole de 2x² − 4x − 6 sur la figure

La figure trace la courbe de f dans un repère, de x = −3,5 à x = 5,5, puis fait apparaître chaque écriture dans l'ordre : f(0) = f(2) = −6, puis l'axe et le sommet, puis les racines, enfin les signes. Le point bleu (0 ; −6) vient de la forme développée : c = −6 ; le segment bleu en pointillés le relie à son symétrique (2 ; −6). Le point doré S(1 ; −8) est le sommet donné par la forme canonique, et la droite en pointillés x = 1 l'axe de symétrie. Les deux points rouges, en −1 et 3, sont les racines de la forme factorisée, deux unités de chaque côté de l'axe. La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses à l'extérieur des racines et au-dessous entre elles : f(x) est du signe de a = 2 sauf entre −1 et 3.

Choisir l'écriture avant de calculer

Avant d'écrire quoi que ce soit : que demande-t-on, et quelle écriture le donne directement ? Pour une image, une équation f(x) = c ou une lecture de l'ordonnée à l'origine : la forme développée. Pour un extremum, un sommet, des variations sans dérivée ou un problème d'optimisation : la forme canonique. Pour des racines, un signe ou une inéquation : la forme factorisée. Si la forme dont on a besoin n'est pas donnée, on la cherche dans cet ordre : factorisation visible (facteur commun, identité remarquable), racine évidente, somme et produit des racines, puis seulement le discriminant.

Quand l'énoncé fournit une écriture (« vérifier que f(x) = 2(x + 1)(x − 3) »), on la vérifie en développant, puis on s'en sert au lieu de repartir de la forme développée avec un discriminant.

Équation, minimum, optimisation : trois cas rédigés

Exemple 1. Soit f(x) = 2x² − 4x − 6. (a) Résoudre f(x) = −6. (b) Montrer que f(x) = 2(x − 1)² − 8 et en déduire le minimum de f. (c) Factoriser f(x) et étudier son signe.

(a) f(x) = −6 équivaut à 2x² − 4x = 0, soit 2x(x − 2) = 0 : les solutions sont 0 et 2.

(b) 2(x − 1)² − 8 = 2(x² − 2x + 1) − 8 = 2x² − 4x − 6 = f(x). Pour tout réel x, (x − 1)² ≥ 0, donc f(x) ≥ −8, avec égalité pour x = 1 : le minimum de f sur ℝ est −8, atteint en 1.

(c) −1 est racine évidente : f(−1) = 2 + 4 − 6 = 0. Le produit des racines vaut c/a = −3, donc l'autre racine est 3, et f(x) = 2(x + 1)(x − 3). Comme a = 2 > 0, f(x) < 0 pour x ∈ ]−1 ; 3[ et f(x) > 0 pour x ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]3 ; +∞[.

Exemple 2, une optimisation géométrique. ABCD est un carré de côté 10. On place E sur [AB], F sur [BC], G sur [CD], H sur [DA] avec AE = BF = CG = DH = x, où x ∈ [0 ; 10]. EFGH est un carré ; pour quelle valeur de x son aire est-elle minimale ?

Dans le triangle AEH rectangle en A, AE = x et AH = 10 − x, donc EH² = x² + (10 − x)². L'aire de EFGH vaut A(x) = x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100. Sa forme canonique : 2x² − 20x + 100 = 2(x² − 10x) + 100 = 2[(x − 5)² − 25] + 100 = 2(x − 5)² + 50. Donc A(x) ≥ 50 pour tout x, avec égalité pour x = 5 : l'aire est minimale quand E, F, G, H sont les milieux des côtés, et vaut 50, la moitié de l'aire du grand carré.

Exemple 3, retrouver la fonction. Déterminer la fonction polynôme du second degré qui s'annule en 2 et en −3 et vérifie f(0) = 12.

Une fonction du second degré qui s'annule en 2 et −3 s'écrit f(x) = a(x − 2)(x + 3) avec a ≠ 0. Alors f(0) = a × (−2) × 3 = −6a, et −6a = 12 donne a = −2. Donc f(x) = −2(x − 2)(x + 3) = −2x² − 2x + 12. Partir de la forme factorisée évite un système de trois équations en a, b, c.

Les erreurs sur le second degré qui coûtent des points

• Le signe de b : pour 2x² − 4x − 6, b = −4, donc −b/(2a) = 4/4 = 1 et b² = 16, pas −16.
• Le facteur a oublié dans la forme factorisée : (x + 1)(x − 3) a les mêmes racines que 2(x + 1)(x − 3), pas les mêmes valeurs, et toute la suite devient fausse.
• « + entre les racines » écrit par habitude dans le tableau de signes, alors que a est négatif.
• Résoudre f(x) = k avec k ≠ 0 en cherchant les racines de f : il faut d'abord tout passer du même côté.

Trois exercices corrigés sur le second degré

Exercice 1 · Factoriser sans discriminant : x² − 9x + 20 ; 4x² − 12x + 9 ; 5x² − 2x ; x² − 2x − 15

x² − 9x + 20 : deux nombres de somme 9 et de produit 20, ce sont 4 et 5. Donc x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5).

4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = (2x − 3)², par l'identité remarquable (a − b)² ; racine double 3/2.

5x² − 2x = x(5x − 2) : facteur commun x, racines 0 et 2/5.

x² − 2x − 15 : somme 2, produit −15, ce sont −3 et 5. Donc x² − 2x − 15 = (x + 3)(x − 5).

Exercice 2 · f(x) = −x² + 6x − 5 : forme canonique, racines, signe, puis f(x) ≥ −5

Forme canonique : −x² + 6x − 5 = −(x² − 6x) − 5 = −[(x − 3)² − 9] − 5 = −(x − 3)² + 4. Le sommet est S(3 ; 4) et, comme a = −1 < 0, f admet un maximum égal à 4 en x = 3.

Racines : 1 est racine évidente (−1 + 6 − 5 = 0) ; le produit des racines vaut c/a = 5, donc l'autre est 5. f(x) = −(x − 1)(x − 5). On vérifie avec Δ = 36 − 20 = 16 : x = (−6 ± 4)/(−2), soit 1 et 5.

Signe : a < 0, donc f(x) > 0 sur ]1 ; 5[ et f(x) < 0 sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]5 ; +∞[.

f(x) ≥ −5 équivaut à −x² + 6x ≥ 0, soit x(6 − x) ≥ 0. Le trinôme −x² + 6x a pour racines 0 et 6 et un coefficient −1 < 0 : il est positif ou nul sur [0 ; 6]. L'ensemble des solutions est [0 ; 6], symétrique autour de 3, comme l'annonçait l'axe de la parabole.

Exercice 3 · Équation à paramètre : x² + mx + 9 = 0

(a) Nombre de solutions selon m. Δ = m² − 36 = (m − 6)(m + 6). Δ > 0 pour m < −6 ou m > 6 : deux solutions. Δ = 0 pour m = 6 ou m = −6 : une solution (−3 si m = 6, car x² + 6x + 9 = (x + 3)² ; 3 si m = −6). Δ < 0 pour −6 < m < 6 : aucune solution réelle.

(b) Pour m = 10 : x² + 10x + 9 ; −1 est racine évidente (1 − 10 + 9 = 0), le produit vaut 9, l'autre racine est −9. Donc x² + 10x + 9 = (x + 1)(x + 9).

(c) Pour quelles valeurs de m l'équation a-t-elle deux solutions distinctes strictement positives ? Il faut Δ > 0. Le produit des racines vaut 9 > 0, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut −m. Elles sont toutes deux positives si et seulement si −m > 0. Avec Δ > 0, on obtient m < −6.