Fonctions sinus et cosinus en terminale : dériver, étudier, résoudre cos x ≤ a

Le programme de spécialité de terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) tient en une ligne : « fonctions trigonométriques sinus et cosinus : dérivées, variations, courbes représentatives ». Il demande de résoudre une équation cos(x) = a et une inéquation cos(x) ≤ a sur [−π ; π], et d'étudier une fonction simple construite avec sinus et cosinus pour trouver ses variations ou un optimum. Le cosinus et le sinus d'un réel, lus sur le cercle trigonométrique, et les valeurs remarquables sont supposés connus.

Les élèves de terminale de cette année ont vu parité, périodicité et courbes en première, avec le programme de 2019. Le nouveau programme de première, appliqué depuis la rentrée 2026, a retiré ces trois points ; ces élèves suivront en terminale, à la rentrée 2027, un nouveau programme (arrêté du 26 février 2026).

Deux fonctions définies sur ℝ, 2π-périodiques

Pour tout réel x, cos x et sin x sont l'abscisse et l'ordonnée du point M(x) du cercle trigonométrique. On en tire directement :

• pour tout réel x, −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1, et cos²x + sin²x = 1 ;
• périodicité : cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x, car x et x + 2π repèrent le même point ;
• parité : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x, car M(−x) est le symétrique de M(x) par rapport à l'axe des abscisses.

Conséquences sur les courbes. La courbe du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celle du sinus par rapport à l'origine. Il suffit donc d'étudier ces fonctions sur [0 ; π] : la parité donne [−π ; π], puis la périodicité tout ℝ, par translations de vecteur 2π i⃗. Enfin, pour tout réel x, cos x = sin(x + π/2) : la courbe du cosinus est l'image de celle du sinus par la translation de vecteur −(π/2) i⃗. Les deux courbes ont la même forme de vague, décalée d'un quart de période.

Dérivées : sin′ = cos et cos′ = −sin

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et, pour tout réel x, sin′(x) = cos x et cos′(x) = −sin x. Le programme ne demande pas de démonstration. Ce qui l'éclaire : le nombre dérivé de sinus en 0 est la limite de (sin h − sin 0) / h = sin h / h quand h tend vers 0. Pour 0 < h < π/2, une comparaison d'aires dans le cercle trigonométrique donne sin h ≤ h ≤ tan h, d'où cos h ≤ sin h / h ≤ 1, et le quotient tend vers 1 = cos 0. La formule en tout réel x s'obtient ensuite avec les formules d'addition du cosinus et du sinus, et la limite de (cos h − 1) / h, qui vaut 0.

Avec la dérivée d'une composée x ↦ g(ax + b), dont la dérivée est x ↦ a g′(ax + b) :

• (sin(ax + b))′ = a cos(ax + b) ;
• (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b).

Le signe « − » de la dérivée du cosinus s'oublie facilement. Un contrôle rapide : en x = π/2, le cosinus passe de positif à négatif, donc sa dérivée doit y être négative ; −sin(π/2) = −1, c'est cohérent.

Variations et courbes sur [−π ; π]

Cosinus. Sur [0 ; π], cos′(x) = −sin x ≤ 0, nul seulement en 0 et π : le cosinus est strictement décroissant de cos 0 = 1 à cos π = −1. Par parité, il est strictement croissant sur [−π ; 0], de −1 à 1. Son maximum sur ℝ vaut 1, atteint en tous les 2kπ (k ∈ ℤ).

Sinus. Sur [−π/2 ; π/2], sin′(x) = cos x ≥ 0, nul seulement aux bornes : le sinus croît strictement de −1 à 1. Il décroît strictement sur [−π ; −π/2], de 0 à −1, et sur [π/2 ; π], de 1 à 0.

Les deux courbes passent par les points des valeurs remarquables : (π/3 ; 1/2) et (π/6 ; √3/2) pour le cosinus, (π/6 ; 1/2) et (π/3 ; √3/2) pour le sinus. La tangente à la courbe du sinus en l'origine a pour coefficient directeur cos 0 = 1 : c'est la droite y = x, et près de 0, sin x ≈ x.

Résoudre cos x = a, puis cos x ≤ a, sur [−π ; π]

La méthode que je fais écrire tient en trois temps. D'abord, si a > 1 ou a < −1, l'équation n'a pas de solution. Sinon, on trouve un réel α de [0 ; π] tel que cos α = a, à partir des valeurs remarquables. Comme le cosinus est pair et strictement décroissant sur [0 ; π], les solutions dans [−π ; π] sont α et −α (une seule si α = 0 ou α = π). Enfin, pour l'inéquation, on regarde de quel côté la courbe, ou l'abscisse du point M(x) sur le cercle, se trouve par rapport à a. Sur ℝ, les solutions de cos x = cos α sont les réels α + 2kπ et −α + 2kπ, k ∈ ℤ. Pour sin x = a, la symétrie utile est celle d'axe des ordonnées : sin x = sin α donne x = α ou x = π − α, à 2π près.

Exemple 1 · cos x = 1/2, puis cos x ≥ 1/2

Énoncé. Résoudre dans ]−π ; π] l'équation cos x = 1/2, puis dans [−π ; π] l'inéquation cos x ≥ 1/2.

Rédaction. On sait que cos(π/3) = 1/2, avec π/3 ∈ [0 ; π]. Le cosinus étant pair, cos(−π/3) = 1/2 aussi. Sur [0 ; π], le cosinus est strictement décroissant, donc π/3 est la seule solution de cet intervalle ; par parité, −π/3 est la seule de [−π ; 0]. Ainsi S = {−π/3 ; π/3}.

Pour l'inéquation : sur [0 ; π], le cosinus décroît, donc cos x ≥ cos(π/3) équivaut à x ≤ π/3, soit x ∈ [0 ; π/3]. Par parité, sur [−π ; 0], on obtient x ∈ [−π/3 ; 0]. Finalement S = [−π/3 ; π/3]. Sur le cercle, ce sont les points d'abscisse au moins 1/2, l'arc de droite compris entre M(−π/3) et M(π/3).

La figure animée reprend cet exemple. La courbe du cosinus se trace d'abord sur [−π ; π], de −1 à 1 puis de nouveau à −1. La droite d'équation y = 1/2 apparaît ensuite, puis ses deux points d'intersection avec la courbe, d'abscisses −π/3 et π/3, reliés à l'axe par des pointillés. L'arc de courbe situé au-dessus de la droite se colore, et sa projection sur l'axe des abscisses, le segment [−π/3 ; π/3], donne l'ensemble des solutions. La symétrie de la figure par rapport à l'axe des ordonnées, c'est la parité du cosinus : elle explique pourquoi les solutions vont toujours par paires opposées.

Exemple 2 · Dériver des expressions trigonométriques

Énoncé. Dériver sur ℝ f(x) = 3 sin(2x) − cos x, g(x) = cos(5x − π/4) et h(x) = eˣ cos x.

Rédaction. f′(x) = 3 × 2 cos(2x) − (−sin x) = 6 cos(2x) + sin x. Pour g, a = 5 : g′(x) = −5 sin(5x − π/4). Pour h, produit uv avec u = eˣ et v = cos x : h′(x) = eˣ cos x + eˣ × (−sin x) = eˣ(cos x − sin x).

Étudier une fonction trigonométrique jusqu'à son optimum

Le plan d'une étude en devoir surveillé : dériver, transformer la dérivée pour pouvoir lire son signe (souvent en factorisant, ou en se ramenant à cos x seul grâce à sin²x = 1 − cos²x), résoudre l'inéquation trigonométrique qui en découle sur l'intervalle d'étude, dresser le tableau de variations, conclure avec la valeur exacte de l'optimum.

Exemple 3 · Le trapèze d'aire maximale dans un demi-disque

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on considère le demi-cercle de centre O, de rayon 1, situé au-dessus de l'axe des abscisses, et les points A(−1 ; 0), B(1 ; 0). Pour x ∈ [0 ; π/2], on note C(cos x ; sin x) et D(−cos x ; sin x). Montrer que l'aire du trapèze ABCD vaut A(x) = sin x (1 + cos x), puis trouver son maximum.

Rédaction. Les bases [AB] et [DC] sont parallèles à l'axe des abscisses, de longueurs 2 et 2 cos x ; la hauteur vaut sin x. Donc A(x) = (2 + 2 cos x) / 2 × sin x = sin x (1 + cos x).

A(x) = sin x + sin x cos x, donc A′(x) = cos x + cos x × cos x + sin x × (−sin x) = cos x + cos²x − sin²x. Avec sin²x = 1 − cos²x : A′(x) = 2cos²x + cos x − 1 = (2 cos x − 1)(cos x + 1).

Pour x ∈ [0 ; π/2], cos x + 1 > 0, donc A′(x) a le signe de 2 cos x − 1. D'après l'exemple 1, cos x > 1/2 pour x ∈ [0 ; π/3[ et cos x < 1/2 pour x ∈ ]π/3 ; π/2]. A est donc croissante sur [0 ; π/3] et décroissante sur [π/3 ; π/2]. Son maximum vaut A(π/3) = (√3/2)(1 + 1/2) = 3√3/4 ≈ 1,299. Pour comparaison, A(0) = 0 et A(π/2) = 1. Le trapèze optimal est la moitié d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle.

Où se perdent les points

• Écrire cos′ = sin, sans le signe moins, ou oublier le facteur a dans (cos(ax + b))′.
• Ne donner que π/3 comme solution de cos x = 1/2 : la parité donne aussi −π/3.
• Résoudre une inéquation sans préciser l'intervalle, ou mélanger [−π ; π] et [0 ; 2π] dans la même copie.
• Annoncer un signe de A′(x) sans avoir justifié que le facteur cos x + 1 est positif.
• Calculer avec la calculatrice en degrés : cos(1) n'est pas cos(1°).

Trois exercices corrigés sur les fonctions sinus et cosinus

Exercice 1 · Trois dérivées à écrire sans faute de signe

Énoncé. Dériver sur ℝ : u(x) = x sin x, v(x) = cos²x, w(x) = sin(πx/2).

Correction. u est un produit : u′(x) = sin x + x cos x. v = (cos)², de la forme φ² avec φ′ = −sin : v′(x) = 2 cos x × (−sin x) = −2 sin x cos x. w est de la forme sin(ax) avec a = π/2 : w′(x) = (π/2) cos(πx/2).

Exercice 2 · Une équation en sinus, une inéquation stricte en cosinus

Énoncé. a) Résoudre dans ]−π ; π] l'équation sin x = −√3/2. b) Résoudre dans [−π ; π] l'inéquation cos x < 1/2.

Correction. a) sin(π/3) = √3/2 et le sinus est impair, donc sin(−π/3) = −√3/2. L'autre solution est π − (−π/3) = 4π/3, qui n'est pas dans ]−π ; π] ; on la ramène en retranchant 2π : 4π/3 − 2π = −2π/3. Vérification : sin(−2π/3) = −sin(2π/3) = −√3/2. S = {−2π/3 ; −π/3}.

b) C'est le complémentaire, dans [−π ; π], de l'ensemble trouvé à l'exemple 1 pour cos x ≥ 1/2. S = [−π ; −π/3[ ∪ ]π/3 ; π]. Les crochets sont ouverts en ±π/3, où cos x vaut exactement 1/2.

Exercice 3 · Encadrer cos x par une étude de fonction

Énoncé. a) Montrer que pour tout réel x ≥ 0, sin x ≤ x. b) En étudiant φ(x) = cos x − 1 + x²/2 sur [0 ; +∞[, montrer que pour tout x ≥ 0, 1 − x²/2 ≤ cos x ≤ 1. c) En déduire un encadrement de cos(0,2).

Correction. a) Soit ψ(x) = x − sin x sur [0 ; +∞[. ψ′(x) = 1 − cos x ≥ 0, donc ψ est croissante, et ψ(0) = 0. Ainsi ψ(x) ≥ 0, soit sin x ≤ x.

b) φ′(x) = −sin x + x = ψ(x) ≥ 0 d'après a). φ est croissante sur [0 ; +∞[ et φ(0) = 1 − 1 + 0 = 0, donc φ(x) ≥ 0, soit cos x ≥ 1 − x²/2. L'inégalité cos x ≤ 1 est toujours vraie.

c) Avec x = 0,2 : 1 − 0,04/2 = 0,98, donc 0,98 ≤ cos(0,2) ≤ 1. La calculatrice donne cos(0,2) ≈ 0,980 07 : la minoration est déjà très fine.