Somme des termes d'une suite géométrique ou arithmétique : compter les termes d'abord

Les deux formules de sommes du programme de première tiennent sur une ligne et leur démonstration est exigible. Ce qui fait échouer un calcul de somme, c'est presque toujours le nombre de termes. Cet article fait partie du chapitre sur les suites en première et s'appuie sur la suite arithmétique et la suite géométrique.

Combien de termes entre uₚ et uₙ ?

De u₀ à uₙ, il y a n + 1 termes. De u₁ à uₙ, il y en a n. De uₚ à uₙ, avec p ≤ n, il y en a n − p + 1. Contrôle sur le plus petit cas : de u₃ à u₅, on a u₃, u₄, u₅, soit trois termes, et 5 − 3 + 1 = 3.

Quand la somme est écrite en extension, comme 3 + 7 + 11 + … + 199, on ne connaît pas les indices. On les retrouve : on écrit le dernier terme sous la forme premier terme + k × raison, on résout pour trouver k, et il y a k + 1 termes.

La somme 1 + 2 + … + n, en écrivant la somme deux fois

Notons S = 1 + 2 + … + n. On l'écrit une seconde fois dans l'ordre inverse : S = n + (n − 1) + … + 1. En additionnant les deux lignes terme à terme, chaque colonne vaut n + 1 : 1 + n, puis 2 + (n − 1), et ainsi de suite. Il y a n colonnes, donc 2S = n(n + 1), et S = n(n + 1)/2.

La même idée donne la somme de termes consécutifs de n'importe quelle suite arithmétique : écrite à l'endroit puis à l'envers, chaque colonne vaut premier terme + dernier terme. D'où la formule en mots, plus sûre que toute formule à indices : nombre de termes × (premier + dernier)/2.

Pourquoi 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

Soit q un réel et S = 1 + q + q² + … + qⁿ. On multiplie par q : qS = q + q² + … + qⁿ + qⁿ⁺¹. Les deux sommes ont en commun tous les termes de q à qⁿ. En soustrayant, il ne reste que les extrémités : S − qS = 1 − qⁿ⁺¹, soit (1 − q)S = 1 − qⁿ⁺¹. Si q ≠ 1, on peut diviser par 1 − q, et S = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

On a divisé par 1 − q : pour q = 1, la somme vaut 1 + 1 + … + 1 = n + 1, cas à traiter à part dès que la raison contient un paramètre.

Pour une suite géométrique (uₙ) de raison q ≠ 1, on factorise par le premier terme de la somme : uₚ + uₚ₊₁ + … + uₙ = uₚ(1 + q + … + qⁿ⁻ᵖ) = uₚ × (1 − qⁿ⁻ᵖ⁺¹)/(1 − q). L'exposant n − p + 1 est exactement le nombre de termes.

Rédiger un calcul de somme

Identifier la nature de la suite et la justifier, puis écrire le premier terme de la somme, puis compter les termes, et seulement ensuite appliquer la formule. Pour une somme qui mélange deux types de termes, comme la somme des 3k + 2ᵏ, on sépare en deux sommes connues, en n'oubliant pas que la somme d'une constante c sur n + 1 indices vaut c(n + 1), et non c.

Exemple 1 · Une somme écrite en extension

Énoncé. Calculer S = 3 + 7 + 11 + … + 199.

Rédaction. Les termes augmentent de 4 à chaque fois : ce sont les termes consécutifs de la suite arithmétique (uₖ) de premier terme u₀ = 3 et de raison 4, avec uₖ = 3 + 4k. On résout 3 + 4k = 199, soit k = 49. La somme va de u₀ à u₄₉ et compte donc 50 termes. D'où S = 50 × (3 + 199)/2 = 50 × 101 = 5 050.

Exemple 2 · Dix termes d'une suite géométrique

Énoncé. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ = 2 × 3ⁿ. Calculer S = u₀ + u₁ + … + u₉.

Rédaction. La suite (uₙ) est géométrique de raison 3 ≠ 1 et de premier terme u₀ = 2. La somme compte 9 − 0 + 1 = 10 termes. Donc S = 2 × (1 − 3¹⁰)/(1 − 3) = 2 × (1 − 59 049)/(−2) = 59 048.

Quand q > 1, l'écriture (3¹⁰ − 1)/(3 − 1) évite deux signes moins.

Exemple 3 · 1 + 1/2 + … + 1/2ⁿ, et l'idée de limite

Énoncé. Pour n ∈ ℕ, calculer Sₙ = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ, puis conjecturer le comportement de Sₙ quand n devient grand.

Rédaction. Sₙ est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/2 ≠ 1. Donc Sₙ = (1 − (1/2)ⁿ⁺¹)/(1 − 1/2) = 2(1 − 1/2ⁿ⁺¹) = 2 − 1/2ⁿ. Comme 1/2ⁿ devient aussi petit qu'on veut quand n grandit, Sₙ semble se rapprocher de 2 sans jamais l'atteindre. Le programme de première demande ce genre de conjecture, sans formaliser la limite.

Le rectangle d'aire 2 qui ne se remplit jamais

La figure illustre l'exemple 3 avec n = 4. Le rectangle se dessine d'abord, puis les morceaux 1, 1/2, 1/4, 1/8 et 1/16 s'y posent un par un, et le morceau manquant est signalé à la fin. Le rectangle a pour côtés 2 et 1, donc pour aire 2. Le carré de gauche, d'aire 1, est le premier terme. Le rectangle bleu clair d'aire 1/2 remplit la moitié de ce qui restait ; le carré d'aire 1/4, la moitié du nouveau reste, et ainsi de suite avec 1/8 et 1/16. Après chaque ajout, la partie blanche est égale au dernier morceau posé. Après 1/16, il manque exactement 1/16, ce qui se lit 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 2 − 1/16, la formule Sₙ = 2 − 1/2ⁿ pour n = 4. On voit sans calcul pourquoi la somme reste sous 2 et pourquoi l'écart devient négligeable.

Les erreurs sur les sommes de termes qui coûtent des points

• Le comptage : de u₁ à u₂₀, 20 termes ; de u₀ à u₂₀, 21 ; de u₅ à u₂₀, 16. Un qⁿ écrit à la place de qⁿ⁺¹ vient presque toujours d'un mauvais comptage.
• La formule géométrique appliquée avec q = 1, ou sans avoir justifié que la suite est géométrique. 1 + 2 + 4 + 7 + 11 n'est ni arithmétique ni géométrique.
• Le mélange des deux formules, du type « nombre de termes × (1 − qⁿ)/(1 − q) » : l'arithmétique fait la moyenne du premier et du dernier, la géométrique part du premier terme et met le nombre de termes en exposant.
• La somme d'une constante c sur n + 1 indices écrite c au lieu de c(n + 1).

Trois exercices corrigés sur les sommes de termes

Exercice 1 · 5 + 8 + 11 + … + 302

Énoncé. Calculer S = 5 + 8 + 11 + … + 302.

Correction. Les termes sont ceux de la suite arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison 3, avec uₖ = 5 + 3k. L'équation 5 + 3k = 302 donne k = 99 : la somme va de u₀ à u₉₉ et compte 100 termes. Donc S = 100 × (5 + 302)/2 = 50 × 307 = 15 350.

Exercice 2 · Une somme qui mélange les deux types

Énoncé. Pour n ∈ ℕ, on pose Sₙ = (3 × 0 + 2⁰) + (3 × 1 + 2¹) + … + (3n + 2ⁿ). Exprimer Sₙ en fonction de n, puis calculer S₁₀.

Correction. On sépare : Sₙ = 3(0 + 1 + … + n) + (1 + 2 + … + 2ⁿ). La première somme vaut n(n + 1)/2. La seconde est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 ≠ 1 : elle vaut (1 − 2ⁿ⁺¹)/(1 − 2) = 2ⁿ⁺¹ − 1. Donc Sₙ = 3n(n + 1)/2 + 2ⁿ⁺¹ − 1. Pour n = 10 : S₁₀ = 3 × 10 × 11/2 + 2¹¹ − 1 = 165 + 2 047 = 2 212.

Exercice 3 · La balle qui rebondit à 60 % de sa hauteur

Énoncé. On lâche une balle d'une hauteur de 10 m. À chaque rebond, elle remonte à 60 % de la hauteur dont elle est tombée. a) Quelle distance verticale a-t-elle parcourue quand elle touche le sol pour la sixième fois ? b) Montrer que cette distance reste toujours inférieure à 40 m.

Correction. a) Notons hₖ la hauteur atteinte après le k-ième rebond : (hₖ) est géométrique de raison 0,6 avec h₁ = 6, donc hₖ = 10 × 0,6ᵏ. Avant le sixième contact, la balle est descendue de 10 m, puis a fait cinq rebonds, chacun montée et descente de hₖ. La distance est D = 10 + 2(h₁ + h₂ + … + h₅). La somme compte 5 termes, de premier terme 6 et de raison 0,6 ≠ 1 : h₁ + … + h₅ = 6 × (1 − 0,6⁵)/(1 − 0,6) = 15 × (1 − 0,07776) = 13,8336. Donc D = 10 + 27,6672 = 37,6672 m, soit environ 37,67 m.

b) Au n-ième contact (n ≥ 2), la même méthode donne Dₙ = 10 + 2 × 6 × (1 − 0,6ⁿ⁻¹)/0,4 = 10 + 30(1 − 0,6ⁿ⁻¹). Comme 0,6ⁿ⁻¹ > 0, on a 1 − 0,6ⁿ⁻¹ < 1, donc Dₙ < 40 (et D₁ = 10 < 40). La distance parcourue reste toujours sous 40 m, tout en s'en approchant : elle dépasse 39 m à partir du huitième contact.