Suite géométrique : la formule du terme général, sa preuve et le piège des pourcentages

Multiplier toujours par le même nombre q

La suite (uₙ), définie sur ℕ, est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = q × uₙ. Le réel q est la raison ; il ne dépend pas de n. Là où la suite arithmétique ajoute une constante, la suite géométrique multiplie.

Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t/100 ; baisser de t %, multiplier par 1 − t/100. Un capital placé à 3 % d'intérêts composés est multiplié chaque année par 1,03 ; une quantité de médicament dont 20 % est éliminé chaque heure est multipliée par 0,8. La raison n'est jamais le taux lui-même : avec q = 0,03, un capital de 5 000 € vaudrait 150 € au bout d'un an, ce qu'un contrôle de vraisemblance attrape tout de suite.

Des évolutions successives ne s'additionnent pas. Deux hausses de 10 % font une hausse de 21 %, puisque 1,1² = 1,21. Trois baisses de 20 % laissent 0,8³ = 0,512 de la quantité de départ, soit une baisse de 48,8 %, pas de 60 %.

Pourquoi uₙ = u₀ × qⁿ

Le programme demande de savoir démontrer la formule du terme général. Écrire u₁ = q × u₀, u₂ = q² × u₀, u₃ = q³ × u₀ puis des points de suspension ne prouve rien ; la démonstration suivante se passe de la récurrence, qui n'arrive qu'en terminale.

Démonstration, dans le cas q ≠ 0. Pour tout entier naturel n, on pose vₙ = uₙ / qⁿ. Alors vₙ₊₁ = uₙ₊₁ / qⁿ⁺¹ = (q × uₙ) / (q × qⁿ) = uₙ / qⁿ = vₙ. La suite (vₙ) est donc constante, égale à son premier terme v₀ = u₀ / q⁰ = u₀. Ainsi, pour tout n, uₙ / qⁿ = u₀, c'est-à-dire uₙ = u₀ × qⁿ.

Cas q = 0. Tous les termes à partir de u₁ sont nuls, et la formule reste vraie avec la convention 0⁰ = 1.

Le même raisonnement, appliqué à partir du rang p, donne uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ pour tous entiers n ≥ p. Si la suite commence à u₁, son terme général est uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.

Démontrer qu'une suite est géométrique

On exprime uₙ₊₁ à partir de l'expression de l'énoncé, on le transforme jusqu'à faire apparaître q × uₙ avec q indépendant de n, puis on conclut en nommant la raison et le premier terme. Le quotient uₙ₊₁ / uₙ est une autre voie, à condition d'avoir justifié que uₙ ≠ 0 pour tout n.

Trouver deux fois le même nombre pour u₁ / u₀ et u₂ / u₁ ne démontre rien. En revanche, deux rapports différents suffisent pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique.

Exemple 1 · Reconnaître la raison dans une formule explicite

Énoncé. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ = 3 × 2ⁿ⁺¹. Montrer que (uₙ) est géométrique.

Rédaction. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺² = 3 × 2ⁿ⁺¹ × 2 = 2 × uₙ. La suite (uₙ) est donc géométrique de raison q = 2. Son premier terme est u₀ = 3 × 2¹ = 6, et l'on peut écrire uₙ = 6 × 2ⁿ.

Exemple 2 · Une élimination à taux constant, et un seuil

Énoncé. On injecte 80 mg d'un médicament. Chaque heure, 20 % de la quantité présente est éliminée. On note uₙ la quantité restante, en mg, au bout de n heures. Exprimer uₙ en fonction de n, puis déterminer au bout de combien d'heures il reste moins de 10 mg.

Rédaction. Perdre 20 %, c'est multiplier par 1 − 0,20 = 0,8. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = 0,8 × uₙ : la suite est géométrique de raison 0,8 et de premier terme u₀ = 80. Donc, pour tout n, uₙ = 80 × 0,8ⁿ.

On cherche le plus petit entier n tel que 80 × 0,8ⁿ < 10, soit 0,8ⁿ < 0,125. La calculatrice donne 0,8⁹ ≈ 0,134 et 0,8¹⁰ ≈ 0,107. Comme 0 < 0,8 < 1 et que u₀ > 0, la suite est strictement décroissante, donc tous les termes après u₁₀ restent sous 10. Il reste moins de 10 mg à partir de la dixième heure (u₉ ≈ 10,74 et u₁₀ ≈ 8,59).

Sans la phrase sur la décroissance, rien n'empêche la suite de repasser au-dessus de 10 plus tard.Le lien entre q et le sens de variation d'une suite a son propre article.

Exemple 3 · Retrouver q à partir de deux termes éloignés

Énoncé. (uₙ) est géométrique, u₃ = 24 et u₆ = −192. Déterminer la raison, u₀, puis u₁₀.

Rédaction. D'après la formule uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ, u₆ = u₃ × q³, donc q³ = −192 / 24 = −8. Le seul réel dont le cube vaut −8 est −2, donc q = −2. Ensuite u₃ = u₀ × q³, donc u₀ = 24 / (−8) = −3. Pour tout n, uₙ = −3 × (−2)ⁿ, et u₁₀ = −3 × 1 024 = −3 072.

Avec un écart pair, par exemple q² = 4, il y aurait eu deux raisons possibles, 2 et −2.

La figure : uₙ = 80 × 0,8ⁿ, point par point

La figure place les points de coordonnées (n ; uₙ) pour la suite de l'exemple 2, de n = 0 à n = 12. Elle se construit dans cet ordre : u₀, puis quatre multiplications par 0,8 qui donnent u₁ à u₄, puis les autres termes avec la courbe, la ligne des 10 mg et enfin u₁₀. Les flèches dorées marquent la multiplication par 0,8 d'un point au suivant. Les hauteurs ne diminuent pas de la même quantité à chaque pas : la première chute est de 16 mg, la quatrième d'environ 8 mg, les dernières de moins de 2 mg. La diminution est proportionnelle à ce qui reste. Le point rouge, u₁₀ ≈ 8,59, est le premier sous la ligne des 10 mg. Les termes sont posés sur la courbe en pointillés de x ↦ 80 × 0,8ˣ : le programme relie ainsi suites géométriques et fonction exponentielle, version continue de la même évolution.

Les erreurs sur les suites géométriques qui coûtent des points

• La raison confondue avec le taux : « le capital augmente de 3 % donc q = 0,03 ».
• Le décalage d'indice : une suite qui démarre à u₁ a pour terme général u₁ × qⁿ⁻¹, pas u₁ × qⁿ.
• Les parenthèses : pour n = 2, (−2)ⁿ vaut 4 et −2ⁿ vaut −4.
• Le premier terme lu dans la formule : pour uₙ = 3 × 2ⁿ⁺¹, u₀ vaut 6, pas 3.
• « uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 4, donc q = 0,5 » : le « + 4 » rend la suite arithmético-géométrique, qui se traite avec une suite auxiliaire (voir la suite arithmético-géométrique).

Trois exercices corrigés sur les suites géométriques

Exercice 1 · Un terme, une formule, et un nombre qui n'est pas dans la suite

Énoncé. (uₙ) est géométrique de premier terme u₀ = 5 et de raison −3. Calculer u₄, exprimer uₙ en fonction de n, puis dire si 1 215 est un terme de la suite.

Correction. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ = 5 × (−3)ⁿ. Donc u₄ = 5 × 81 = 405. Pour que uₙ = 1 215, il faudrait (−3)ⁿ = 243 = 3⁵. Or (−3)ⁿ est positif seulement pour n pair, et sa valeur absolue vaut 3ⁿ, qui égale 243 seulement pour n = 5, impair. Pour n = 5, (−3)⁵ = −243 et u₅ = −1 215. Aucun entier ne convient : 1 215 n'est pas un terme de la suite, alors que −1 215 en est un.

Exercice 2 · Géométrique ou pas, à démontrer dans les deux sens

Énoncé. Pour tout n ∈ ℕ, vₙ = 2²ⁿ⁺¹ / 5ⁿ et wₙ = n × 2ⁿ. Montrer que (vₙ) est géométrique et que (wₙ) ne l'est pas.

Correction. Pour tout n ∈ ℕ, vₙ₊₁ = 2²ⁿ⁺³ / 5ⁿ⁺¹ = (2²ⁿ⁺¹ × 4) / (5ⁿ × 5) = (4/5) × vₙ. La suite (vₙ) est géométrique de raison 4/5 et de premier terme v₀ = 2¹ / 5⁰ = 2.

Pour (wₙ) : w₀ = 0 et w₁ = 2. Si (wₙ) était géométrique de raison q, on aurait w₁ = q × w₀ = 0, ce qui est faux. Donc (wₙ) n'est pas géométrique. Le quotient w₂ / w₁ = 4 ne prouve rien ici ; c'est le premier terme nul qui donne le contre-exemple.

Exercice 3 · Une ville qui perd 1,5 % d'habitants par an

Énoncé. Une commune compte 12 000 habitants en 2026. On suppose que sa population diminue de 1,5 % par an. On note pₙ la population en 2026 + n. a) Exprimer pₙ en fonction de n. b) De quel pourcentage la population a-t-elle baissé en dix ans ? c) En quelle année passera-t-elle sous 10 000 habitants ?

Correction. a) Baisser de 1,5 %, c'est multiplier par 0,985. (pₙ) est géométrique de raison 0,985 et de premier terme p₀ = 12 000, donc pₙ = 12 000 × 0,985ⁿ.

b) p₁₀ / p₀ = 0,985¹⁰ ≈ 0,8597. La population a baissé d'environ 14,0 % en dix ans, et non de 15 % : les baisses successives portent sur une population de plus en plus petite.

c) Comme 0 < 0,985 < 1 et p₀ > 0, la suite est strictement décroissante. À la calculatrice, p₁₂ ≈ 10 010 et p₁₃ ≈ 9 859. Le plus petit n tel que pₙ < 10 000 est 13 ; la population passera sous 10 000 habitants en 2039, et y restera dans ce modèle.

Vue d'ensemble du chapitre : les suites numériques en première.