Théorème de Pythagore : calculer un côté, prouver un angle droit, et la preuve par les aires

L'énoncé, sa réciproque, sa contraposée

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus long des trois côtés. Tout le chapitre repose sur trois énoncés qui ne servent pas à la même chose.

Le théorème et sa réciproque sont introduits en 4e. Ils sont réinvestis en 3e, dans les exercices de géométrie plane et dans l'espace, avec la trigonométrie, et ils reviennent souvent au brevet. Un élève de 3e à la rentrée 2026 suit encore ce programme : le nouveau programme de cycle 4, publié au Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026, n'arrive en 3e qu'à la rentrée 2028.

Pourquoi c'est vrai : la preuve par les aires

Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent b et c, et l'hypoténuse a. Dans un carré de côté b + c, on place quatre copies de ce triangle, une dans chaque coin, chacune ayant ses côtés de l'angle droit le long de deux côtés du grand carré. Leurs hypoténuses délimitent au centre un quadrilatère dont les quatre côtés mesurent a.

Ce quadrilatère est un carré. En chacun de ses sommets, sur un côté du grand carré, trois angles se suivent et font 180° : deux angles aigus de deux triangles, qui sont les deux angles aigus du triangle de départ et font donc 90° à eux deux, et l'angle du quadrilatère, qui vaut donc 180° − 90° = 90°.

On calcule alors l'aire du grand carré de deux façons. D'un côté, elle vaut (b + c)² = b² + 2bc + c². De l'autre, elle vaut l'aire du carré central plus celle des quatre triangles : a² + 4 × (bc / 2) = a² + 2bc. En égalant, b² + 2bc + c² = a² + 2bc, donc a² = b² + c².

La figure animée montre le résultat sur le triangle de côtés 4, 3 et 5, en carreaux d'une unité. Le triangle ABC, rectangle en A, se dessine d'abord. Le carré construit sur [AC] apparaît ensuite, 9 carreaux, puis celui construit sur [AB], 16 carreaux. Le carré incliné construit sur l'hypoténuse [BC] vient en dernier : son aire vaut 25, ce qui se vérifie en le recomposant dans un carré de 7 sur 7 dont on retire quatre triangles de 6 carreaux. La conclusion s'écrit enfin : 16 + 9 = 25, donc BC = √25 = 5.

Calculer une longueur dans un triangle rectangle

La rédaction attendue au brevet tient en quatre temps : nommer le triangle et son angle droit, citer le théorème, écrire l'égalité avec les noms des côtés, puis remplacer et calculer. Je demande d'écrire l'égalité avec les lettres avant les nombres : c'est là qu'on voit si l'hypoténuse a été repérée.

Exemple 1 · L'hypoténuse

Énoncé. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4,5 cm et AC = 6 cm. Calculer BC.

Rédaction. Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25. BC est une longueur, donc BC = √56,25 = 7,5 cm.

Exemple 2 · Un côté de l'angle droit

Énoncé. DEF est un triangle rectangle en D tel que EF = 10 cm et DE = 7 cm. Calculer DF, valeur exacte puis arrondi au millimètre.

Rédaction. Le triangle DEF est rectangle en D, son hypoténuse est [EF]. D'après le théorème de Pythagore : EF² = DE² + DF², donc DF² = EF² − DE² = 100 − 49 = 51. Ainsi DF = √51 cm ≈ 7,1 cm.

Contrôle de vraisemblance : 7 < 7,1 < 10, le côté trouvé est plus court que l'hypoténuse. Si l'on avait additionné, on aurait trouvé √149 ≈ 12,2 cm, plus long que l'hypoténuse : c'est impossible, et c'est le signe que l'égalité a été mal écrite.

Prouver qu'un triangle est rectangle, ou qu'il ne l'est pas

On repère le plus long côté, on calcule son carré d'un côté, la somme des carrés des deux autres de l'autre, et on compare. On n'écrit jamais KM² = KL² + LM² avant d'avoir fait les deux calculs : ce serait affirmer ce qu'on cherche à prouver.

Exemple 3 · Rectangle ou pas

Énoncé. a) Le triangle KLM tel que KL = 3,3 cm, LM = 5,6 cm et KM = 6,5 cm est-il rectangle ? b) Même question pour un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm.

Rédaction. a) Le plus long côté est [KM]. D'une part, KM² = 6,5² = 42,25. D'autre part, KL² + LM² = 10,89 + 31,36 = 42,25. Donc KM² = KL² + LM² : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L, le sommet opposé au plus long côté.

b) Le plus long côté mesure 8 cm. D'une part, 8² = 64. D'autre part, 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Comme 64 ≠ 61, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n'est pas rectangle.

Les erreurs sur Pythagore qui coûtent des points

• L'hypoténuse mal repérée : on additionne les carrés alors qu'il fallait soustraire. Le contrôle « l'hypoténuse est le plus long côté » l'aurait évité.
• BC = AB + AC, sans les carrés. Avec 3 et 4, cela donne 7 au lieu de 5.
• « D'après le théorème de Pythagore, le triangle est rectangle » : pour conclure qu'il est rectangle, c'est la réciproque qu'on cite.
• L'égalité KM² = KL² + LM² écrite en tête du calcul, avant la vérification.
• Un arrondi réutilisé dans la suite : 7,1² = 50,41 et non 51. On garde √51 jusqu'au bout et on n'arrondit qu'à la fin.
• Des longueurs dans des unités différentes, centimètres et mètres, mises dans la même égalité.

Trois exercices corrigés sur Pythagore

Exercice 1 · L'échelle contre le mur

Énoncé. Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Correction. Le mur et le sol forment un angle droit : le triangle formé par le pied du mur, le pied de l'échelle et le haut de l'échelle est rectangle au pied du mur, et l'échelle en est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore, h² + 1,4² = 5², donc h² = 25 − 1,96 = 23,04 et h = √23,04 = 4,8 m.

Exercice 2 · Deux triangles accolés, le théorème puis la réciproque

Énoncé. ABCD est un quadrilatère. Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. De plus CD = 24 cm et AD = 26 cm. a) Calculer AC. b) Le triangle ACD est-il rectangle ?

Correction. a) ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore, AC² = AB² + BC² = 36 + 64 = 100, et AC = 10 cm.

b) Dans le triangle ACD, le plus long côté est [AD]. D'une part, AD² = 26² = 676. D'autre part, AC² + CD² = 100 + 576 = 676. L'égalité AD² = AC² + CD² est vérifiée : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ACD est rectangle en C.

Exercice 3 · La grande diagonale d'un pavé droit

Énoncé. ABCDEFGH est un pavé droit de base ABCD, avec AB = 3 cm, BC = 4 cm et AE = 12 cm ; les arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH] sont perpendiculaires à la base. Calculer la longueur de la diagonale [AG].

Correction. La face ABCD est un rectangle, donc ABC est rectangle en B : AC² = AB² + BC² = 9 + 16 = 25 et AC = 5 cm.

L'arête [CG] est perpendiculaire à la base, donc à la droite (AC) qui est dans cette base : le triangle ACG est rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, AG² = AC² + CG² = 25 + 144 = 169, et AG = 13 cm.

La méthode générale pour un calcul dans l'espace : trouver un triangle rectangle dans un plan, souvent une face ou une section, et l'enchaîner avec un second.