Trigonométrie en première : radian, enroulement et ce que le programme 2026 a retiré

Le programme 2026 : ce qui reste, ce qui sort

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 (BO n° 14 du 2 avril 2026) garde : cercle trigonométrique, longueur d'arc, radian ; enroulement de la droite sur le cercle, image d'un réel ; cosinus et sinus d'un réel, lien avec le triangle rectangle, valeurs remarquables. Il faut savoir placer un point sur le cercle et lire le cosinus et le sinus des angles associés à une valeur remarquable. Démonstration exigible : cos(π/4), sin(π/4), cos(π/3), sin(π/3).

Sont sortis de la première : les fonctions cosinus et sinus sur ℝ, leur parité, leur périodicité, leurs courbes et le lien courbes-cercle. Le programme de terminale de 2019, en vigueur jusqu'à la rentrée 2027, traite ces fonctions ; le nouveau programme de terminale, publié au même Bulletin officiel (arrêté du 26 février 2026), s'appliquera à la rentrée 2027 pour ces élèves. Beaucoup de manuels antérieurs les présentent encore comme du cours de première.

Le radian et l'enroulement

Sur un cercle de rayon r, un angle au centre de θ radians intercepte un arc de longueur L = rθ ; sur le cercle trigonométrique, de rayon 1, mesure en radians et longueur d'arc sont le même nombre. Un tour correspond à 2π radians : π rad = 180°. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par π/180 ; dans l'autre sens, par 180/π. Exemple : sur un cercle de rayon 3 cm, un angle de 2π/3 rad intercepte un arc de 3 × 2π/3 = 2π cm, environ 6,28 cm. La formule L = rθ n'a cette forme simple qu'en radians.

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, dans un repère orthonormé (O ; I, J), orienté dans le sens direct, inverse des aiguilles d'une montre. On enroule la droite des réels, tangente au cercle en I, autour du cercle : les positifs dans le sens direct, les négatifs dans l'autre. Chaque réel x se pose sur un point M, son image ; l'arc IM mesure |x|.

Comme un tour mesure 2π, x et x + 2kπ (k ∈ ℤ) ont la même image. Pour placer un réel, on ajoute ou retire le bon nombre de tours afin de se ramener à ]−π ; π]. Le repérage réel par réel est détaillé dans l'article sur le cercle trigonométrique.

Cosinus et sinus d'un réel

Si M est l'image du réel x sur le cercle trigonométrique, on appelle cosinus de x et sinus de x l'abscisse et l'ordonnée de M : M(cos x ; sin x). Trois propriétés en découlent directement.

• Pour tout réel x, −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1, puisque M est sur un cercle de rayon 1.
• Pour tout réel x, cos²x + sin²x = 1 : c'est OM² = 1, écrit avec le théorème de Pythagore dans le repère orthonormé.
• Pour tout entier relatif k, cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x, puisque x et x + 2kπ ont la même image.

Le lien avec le collège se fait pour x dans ]0 ; π/2[. Le point M est dans le premier quadrant ; si H est son projeté orthogonal sur (OI), le triangle OHM est rectangle en H, d'hypoténuse OM = 1. Le cosinus de l'angle HOM, au sens du collège, vaut OH/OM = OH, qui est l'abscisse de M. Les deux définitions coïncident, et la nouvelle prolonge l'ancienne à tous les réels.

Valeurs remarquables et angles associés

Démonstration pour π/4. Soit M l'image de π/4. Il est sur la bissectrice du premier quadrant, la droite d'équation y = x, donc cos(π/4) = sin(π/4) ; notons c cette valeur, avec c > 0. De cos² + sin² = 1, on tire 2c² = 1, soit c = 1/√2 = √2/2. La démonstration pour π/3, par un triangle équilatéral, est rédigée dans l'article cosinus et sinus : valeurs remarquables.

Le programme demande de trouver, par lecture du cercle, le cosinus et le sinus des angles associés à x. Chaque formule est une symétrie, qu'on retrouve en dessinant plutôt qu'en l'apprenant par cœur.

• −x : symétrie par rapport à l'axe des abscisses. cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x.
• π − x : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x.
• π + x : symétrie par rapport à l'origine. cos(π + x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x.
• π/2 − x : symétrie par rapport à la droite y = x, qui échange abscisse et ordonnée. cos(π/2 − x) = sin x, sin(π/2 − x) = cos x.

La méthode pour un réel quelconque : on se ramène à ]−π ; π] en retirant des tours, on reconnaît l'angle associé à une valeur remarquable, on place le point, puis on lit les signes selon le quadrant avant d'écrire les valeurs.

Deux calculs rédigés, et la figure

Exemple 1 · Le réel 17π/6

17π/6 = 2π + 5π/6, donc 17π/6 a la même image que 5π/6, et cos(17π/6) = cos(5π/6), sin(17π/6) = sin(5π/6). Or 5π/6 = π − π/6. Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2 et sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2. Conclusion : cos(17π/6) = −√3/2 et sin(17π/6) = 1/2.

Exemple 2 · Un réel négatif, puis un grand réel

−7π/4 = −2π + π/4, donc cos(−7π/4) = cos(π/4) = √2/2 et sin(−7π/4) = sin(π/4) = √2/2. Pour 2026π/3, on écrit 2026 = 3 × 675 + 1, donc 2026π/3 = 675π + π/3 = 337 × 2π + π + π/3. On retire 337 tours : l'image est celle de π + π/3 = 4π/3. Par symétrie par rapport à l'origine, cos(2026π/3) = −cos(π/3) = −1/2 et sin(2026π/3) = −sin(π/3) = −√3/2.

La figure place l'image de 17π/6 sur le cercle trigonométrique. Le cercle se trace d'un tour complet à partir de I, qui correspond aux 2π retirés ; puis l'arc doré de 5π/6 (150°) mène de I à M ; puis le rayon OM se pose ; enfin les pointillés projettent M sur les axes et donnent son abscisse −√3/2 et son ordonnée 1/2. M est dans le deuxième quadrant : cosinus négatif, sinus positif. La note en bas rappelle que 5π/6, 17π/6 et −7π/6 ont le même point image.

Les erreurs sur la trigonométrie qui coûtent des points

• Le signe : reconnaître π/6 dans 5π/6 et écrire cos(5π/6) = √3/2, alors que le point est à gauche de l'axe des ordonnées. Un croquis du cercle l'évite.
• Les tours mal comptés : retirer π au lieu de 2π. Ajouter 2π ne change rien, ajouter π envoie au point diamétralement opposé.
• La calculatrice en degrés : cos(π/3) y donne une valeur proche de 1.
• Garder ± devant sin x alors que l'intervalle de l'énoncé fixe le quadrant (exercice 3).

Trois exercices corrigés sur la trigonométrie

Exercice 1 · Conversions dans les deux sens

Convertir en radians 135° et 330°, puis en degrés 5π/12 et −7π/9.

Correction. 135° = 135π/180 = 3π/4 rad ; 330° = 330π/180 = 11π/6 rad. 5π/12 rad = (5/12) × 180° = 75° ; −7π/9 rad = (−7/9) × 180° = −140°.

Exercice 2 · Trois réels à placer et à lire

Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus de 11π/6, −2π/3 et 25π/4, en justifiant.

Correction. 11π/6 = 2π − π/6, qui a la même image que −π/6. Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, cos(11π/6) = cos(π/6) = √3/2 et sin(11π/6) = −sin(π/6) = −1/2.

−2π/3 = −(π − π/3). On a cos(−2π/3) = cos(2π/3) = cos(π − π/3) = −cos(π/3) = −1/2 et sin(−2π/3) = −sin(2π/3) = −sin(π/3) = −√3/2 : le point est dans le troisième quadrant, les deux signes sont négatifs.

25π/4 = 24π/4 + π/4 = 3 × 2π + π/4. On retire trois tours : cos(25π/4) = cos(π/4) = √2/2 et sin(25π/4) = √2/2.

Exercice 3 · Du cosinus au sinus, puis aux angles associés

Soit x un réel de [π/2 ; π] tel que cos x = −3/5. Calculer sin x, puis cos(π − x), sin(π + x), cos(π/2 − x) et sin(−x).

Correction. De cos²x + sin²x = 1, on tire sin²x = 1 − 9/25 = 16/25, donc sin x = 4/5 ou sin x = −4/5. Comme x ∈ [π/2 ; π], son image est dans le deuxième quadrant, d'ordonnée positive ou nulle : sin x = 4/5. Alors cos(π − x) = −cos x = 3/5 ; sin(π + x) = −sin x = −4/5 ; cos(π/2 − x) = sin x = 4/5 ; sin(−x) = −sin x = −4/5. L'erreur attendue est de garder ± devant sin x : c'est l'intervalle donné par l'énoncé qui tranche, et la copie doit le citer.

La suite immédiate : la formule u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ du produit scalaire, qui demande cos(2π/3) ou cos(3π/4) sans calculatrice.