Valeur absolue en seconde : une distance, un intervalle de centre a, une courbe en V

Le programme de seconde applicable depuis la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) place la valeur absolue à deux endroits. Dans la partie « Nombres réels » : la notation |a| pour la distance de a à 0, la distance entre deux réels, l'inéquation |x − a| ≤ r et l'intervalle [a − r ; a + r]. Dans la partie « Fonctions » : la fonction valeur absolue, sa définition, sa courbe, son signe, ses variations, et la résolution de f(x) = k ou f(x) < k. Le texte fixe aussi une limite : la notation sert à exprimer des distances et à caractériser les intervalles de centre donné, « toute autre utilisation est hors programme ». Les équations du type |2x − 1| = |x + 3| ne sont donc pas attendues en seconde.

Les élèves de seconde de 2026, 2027 et 2028 ont suivi l'ancien programme de collège, où la valeur absolue n'apparaissait pas ; le nouveau collège la définit en cinquième. Pour eux, la notion est entièrement neuve.

|a|, la distance de a à 0

Sur une droite graduée d'origine O, le point d'abscisse a est à une distance de O qui ne dépend pas du côté où il se trouve : 5 et −5 sont tous deux à 5 unités de 0. Cette distance est |a|. Pour la calculer, on distingue deux cas : si a ≥ 0, |a| = a ; si a < 0, |a| = −a. Dans le second cas, −a est l'opposé d'un nombre négatif, donc un nombre positif : |−3,5| = −(−3,5) = 3,5.

Avec un nombre écrit sous forme de différence, on cherche d'abord son signe. Comme π ≈ 3,14 < 4, le nombre π − 4 est négatif, donc |π − 4| = −(π − 4) = 4 − π. La valeur absolue ne « retire pas le signe moins » écrit devant : elle rend positif le nombre, quelle que soit son écriture.

Distance entre deux réels et intervalle de centre a

La distance entre deux réels a et b est la longueur du segment qui joint leurs points sur la droite graduée : |b − a|. On peut soustraire dans l'ordre qu'on veut, puisque b − a et a − b sont opposés et ont la même valeur absolue. Entre −3 et 5, la distance vaut |5 − (−3)| = 8.

Lire |x − a| ≤ r comme une phrase donne la solution : « la distance de x à a est au plus r ». Les réels qui conviennent sont ceux de l'intervalle de centre a et de rayon r, [a − r ; a + r].

Justification. On pose y = x − a et on montre que, pour r ≥ 0, |y| ≤ r équivaut à −r ≤ y ≤ r. Si y ≥ 0, |y| = y, et y ≥ 0 ≥ −r est toujours vrai : il reste y ≤ r. Si y < 0, |y| = −y, et −y ≤ r s'écrit y ≥ −r, tandis que y < 0 ≤ r est toujours vrai. Dans les deux cas, |y| ≤ r ⇔ −r ≤ y ≤ r. En ajoutant a aux trois membres, |x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r.

La méthode pour l'exercice type tient en deux gestes. Pour résoudre, on écrit l'expression sous la forme |x − a|, ce qui oblige à transformer un « + » : x + 2 = x − (−2), le centre est −2. Pour caractériser un intervalle [m ; M], on calcule son centre (m + M)/2 et son rayon (M − m)/2.

Exemple 1 · Dans les deux sens

Énoncé. a) Résoudre |x + 2| ≤ 3 et représenter les solutions. b) Écrire la condition x ∈ [−1 ; 7] à l'aide d'une valeur absolue.

Rédaction. a) Pour tout réel x, x + 2 = x − (−2), donc |x + 2| est la distance de x à −2. L'inéquation demande que cette distance soit au plus 3 : x ∈ [−2 − 3 ; −2 + 3] = [−5 ; 1]. Sur la droite graduée, on hachure le segment qui va de −5 à 1, crochets fermés aux deux bouts. Contrôle : |1 + 2| = 3 ≤ 3 et |−5 + 2| = 3 ≤ 3.

b) Le centre de [−1 ; 7] est (−1 + 7)/2 = 3, son rayon (7 − (−1))/2 = 4. Donc x ∈ [−1 ; 7] ⇔ |x − 3| ≤ 4.

La fonction valeur absolue en seconde

La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur ℝ par f(x) = |x|. D'après la définition, f(x) = −x pour x ≤ 0 et f(x) = x pour x ≥ 0 : sur chacun des deux intervalles, f coïncide avec une fonction affine. Sa courbe est donc faite de deux demi-droites issues de l'origine, portées par les droites y = −x et y = x. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, puisque |−x| = |x|.

Signe et variations s'en déduisent. f(x) ≥ 0 pour tout x, et f(x) = 0 seulement pour x = 0. Sur ]−∞ ; 0], f coïncide avec x ↦ −x, de coefficient directeur −1, donc décroissante ; sur [0 ; +∞[, avec x ↦ x, donc croissante. Le minimum de f sur ℝ est 0, atteint en 0, et f n'a pas de maximum.

Pour résoudre |x| = k, |x| ≤ k ou |x| > k, on trace la droite horizontale y = k. Pour k > 0, elle coupe le V en deux points, d'abscisses −k et k ; pour k = 0, en l'origine seulement ; pour k < 0, jamais. Algébriquement, c'est le cas a = 0 de la distance : |x| ≤ k signifie que x est à distance au plus k de 0.

Exemple 2 · Lire les solutions sur le V

Énoncé. Résoudre dans ℝ : a) |x| = 3 ; b) |x| ≤ 3 ; c) |x| > 3 ; d) |x| = −1. Puis comparer, sans les calculer, |−2,7| et |−3,1|.

Rédaction. La droite y = 3 coupe la courbe de la fonction valeur absolue aux points A(−3 ; 3) et B(3 ; 3). a) S = {−3 ; 3}. b) La courbe est sous la droite, ou sur elle, entre les abscisses −3 et 3 : S = [−3 ; 3]. c) Elle est strictement au-dessus en dehors : S = ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[. d) Une valeur absolue est positive, la droite y = −1 ne rencontre pas la courbe : S = ∅.

Comparaison : −3,1 < −2,7 ≤ 0 et la fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞ ; 0], donc |−3,1| > |−2,7|. Contrôle : 3,1 > 2,7.

La courbe en V, étape par étape

La figure reprend l'exemple 2. La demi-droite y = −x se trace d'abord, pour x ≤ 0, puis la demi-droite y = x, pour x ≥ 0 : la courbe de y = |x| est complète. La droite y = 3 apparaît ensuite, puis ses deux points d'intersection avec le V, A(−3 ; 3) et B(3 ; 3), et les pointillés qui descendent vers leurs abscisses. Le segment vert [−3 ; 3] s'allume sur l'axe des abscisses : c'est là que la courbe est sous la droite, l'ensemble des solutions de |x| ≤ 3. Les deux morceaux rouges, à gauche de −3 et à droite de 3, donnent enfin |x| > 3. Les bornes −3 et 3 sont dans la partie verte et pas dans la rouge, comme l'imposent les signes ≤ et >.

Les erreurs sur la valeur absolue qui coûtent des points

• Lire le centre à l'envers : |x + 2| ≤ 3 traité avec le centre 2, d'où [−1 ; 5] au lieu de [−5 ; 1].
• « |x| = −x, c'est négatif » : pour x < 0, −x est positif, |−4| = −(−4) = 4.
• Garder une seule solution : |x| = 3 donne x = 3 et x = −3.
• Écrire |x| > 3 sous la forme « −3 > x > 3 », qui ne désigne aucun réel ; on écrit une réunion d'intervalles.
• Croire que |a + b| = |a| + |b| : |3 + (−5)| = 2 alors que |3| + |−5| = 8.
• Résoudre |x − 1| ≤ −2 en écrivant [3 ; −1] : une distance n'est jamais négative, S = ∅.

Trois exercices corrigés sur la valeur absolue

Exercice 1 · Calculer sans se tromper de signe

Énoncé. Donner, sans barres de valeur absolue : |−4,2| ; |3 − 7| ; |π − 3| ; |2 − √5|. Calculer la distance entre −2,5 et 4.

Correction. |−4,2| = 4,2. |3 − 7| = |−4| = 4. Comme π > 3, π − 3 est positif et |π − 3| = π − 3. Comme √5 > √4 = 2, 2 − √5 est négatif, donc |2 − √5| = √5 − 2. La distance entre −2,5 et 4 vaut |4 − (−2,5)| = 6,5.

Exercice 2 · Intervalles de centre donné et valeur approchée

Énoncé. a) Résoudre |x − 4| ≤ 1,5. b) Résoudre |x + 1| < 2. c) Écrire x ∈ [−6 ; −1] à l'aide d'une valeur absolue. d) Dire que 3,14 est une valeur approchée de π à 10⁻² près, c'est écrire |π − 3,14| ≤ 0,01. Traduire cette phrase par un encadrement de π.

Correction. a) Distance de x à 4 au plus 1,5 : S = [2,5 ; 5,5]. b) |x + 1| = |x − (−1)| : distance de x à −1 strictement inférieure à 2, S = ]−3 ; 1[. c) Centre (−6 + (−1))/2 = −3,5, rayon (−1 − (−6))/2 = 2,5 : x ∈ [−6 ; −1] ⇔ |x + 3,5| ≤ 2,5. d) |π − 3,14| ≤ 0,01 ⇔ 3,13 ≤ π ≤ 3,15.

Exercice 3 · Équation, inéquation et encadrement avec |x|

Énoncé. a) Résoudre |x − 2| = 5. b) Résoudre |x| ≥ 1,5 à l'aide de la courbe de la fonction valeur absolue. c) On sait que −4 ≤ x ≤ 1. Donner le meilleur encadrement de |x|.

Correction. a) On cherche les réels à distance exactement 5 de 2 : 2 − 5 = −3 et 2 + 5 = 7. S = {−3 ; 7}.

b) La droite y = 1,5 coupe le V en (−1,5 ; 1,5) et (1,5 ; 1,5) ; la courbe est au-dessus de la droite, ou sur elle, pour x ≤ −1,5 et pour x ≥ 1,5. S = ]−∞ ; −1,5] ∪ [1,5 ; +∞[.

c) L'intervalle [−4 ; 1] contient 0, où la fonction change de sens de variation. Sur [−4 ; 0], elle décroît : 0 ≤ |x| ≤ 4. Sur [0 ; 1], elle croît : 0 ≤ |x| ≤ 1. Donc 0 ≤ |x| ≤ 4, bornes atteintes en 0 et en −4. Appliquer la valeur absolue aux bornes aurait donné « 4 ≤ |x| ≤ 1 », qui n'a pas de sens.

La valeur absolue prend place parmi les autres fonctions de référence de seconde, et le programme de seconde 2026 détaille ce qui est entré et sorti cette année. En première, le programme de spécialité y revient avec l'étude de la dérivabilité de x ↦ |x| en 0 (voir le nombre dérivé).