Vecteurs en seconde : coordonnées, déterminant et colinéarité, de la figure au calcul

Le collège a introduit les vecteurs avec les translations et la relation de Chasles. En seconde, ils deviennent un outil de calcul : dans le programme de seconde applicable à la rentrée 2026, la partie « Vecteurs et problèmes de géométrie » demande de calculer avec des coordonnées dans une base orthonormée, de caractériser la colinéarité par le déterminant et d'en tirer alignements et parallélismes. Le chapitre prépare directement les équations de droites, puis le produit scalaire de première.

Égalité de deux vecteurs et parallélogramme

Le vecteur AB^→ est associé à la translation qui envoie A sur B. Deux vecteurs AB^→ et CD^→ sont égaux lorsqu'ils ont même direction (droites (AB) et (CD) parallèles), même sens et même longueur. Un vecteur a donc une infinité de représentants : on peut le dessiner à partir de n'importe quel point. On le note aussi u⃗. Le vecteur nul, noté 0⃗, est AA^→ ; l'opposé de AB^→ est BA^→ = −AB^→.

La propriété qui sert le plus : AB^→ = DC^→ si et seulement si ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati (les quatre points alignés). L'ordre des lettres compte : AB^→ = DC^→ correspond à ABCD, alors que AB^→ = CD^→ correspond au quadrilatère ABDC.

Somme de vecteurs et produit par un réel

Relation de Chasles. Pour tous points A, B, C : AB^→ + BC^→ = AC^→. Enchaîner deux déplacements revient à faire le déplacement direct.

Règle du parallélogramme. Pour additionner deux vecteurs dessinés à partir d'une même origine A, on construit D tel que ABDC soit un parallélogramme : AB^→ + AC^→ = AD^→, la diagonale issue de A.

Produit par un réel. Pour un vecteur u⃗ non nul et un réel k non nul, k u⃗ a la même direction que u⃗, le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0, et une longueur multipliée par |k|. Si k = 0 ou u⃗ = 0⃗, k u⃗ = 0⃗.

Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v⃗ = k u⃗ ou u⃗ = k v⃗. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Enfin, si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, tout vecteur w⃗ du plan s'écrit d'une seule façon w⃗ = a u⃗ + b v⃗ : c'est ce qui permet de résoudre un problème sans repère, en exprimant tout à l'aide de deux vecteurs de base.

Le milieu se caractérise aussi par les vecteurs : I est le milieu de [AB] si et seulement si AI^→ = IB^→, ou encore IA^→ + IB^→ = 0⃗.

Coordonnées dans une base orthonormée

On munit le plan d'un repère orthonormé (O ; i⃗, j⃗). Tout vecteur s'écrit u⃗ = x i⃗ + y j⃗ : (x ; y) sont ses coordonnées, notées aussi en colonne. On lit x en comptant le déplacement horizontal et y le déplacement vertical, avec leur signe.

• AB^→(x_B − x_A ; y_B − y_A) : arrivée moins départ.
• Si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), alors u⃗ + v⃗ (x + x′ ; y + y′) et, pour tout réel k, k u⃗ (kx ; ky).
• Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
• Norme : ‖u⃗‖ = √(x² + y²), conséquence du théorème de Pythagore ; d'où la distance AB = ‖AB^→‖.
• Milieu I de [AB] : I((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).

Exemple 1 · Le quatrième sommet d'un parallélogramme

Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(−3 ; −1), B(2 ; 1) et C(4 ; 5). Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme, puis vérifier avec les milieux des diagonales.

Rédaction. ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB^→ = DC^→. AB^→(2 − (−3) ; 1 − (−1)), soit AB^→(5 ; 2). Si D(x ; y), alors DC^→(4 − x ; 5 − y). L'égalité des coordonnées donne 4 − x = 5 et 5 − y = 2, d'où x = −1 et y = 3 : D(−1 ; 3).

Contrôle. Le milieu de [AC] a pour coordonnées ((−3 + 4)/2 ; (−1 + 5)/2) = (0,5 ; 2), celui de [BD] ((2 − 1)/2 ; (1 + 3)/2) = (0,5 ; 2). Les diagonales ont le même milieu, ce qui caractérise aussi le parallélogramme. Au passage, AB = √(5² + 2²) = √29 et AD = √(2² + 4²) = √20 = 2√5.

Colinéarité : le déterminant, et pourquoi il marche

Le déterminant de u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) dans une base orthonormée est le nombre det(u⃗, v⃗) = xy′ − x′y. On le calcule en « produit en croix » sur les coordonnées écrites en colonnes.

Propriété. Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement si det(u⃗, v⃗) = 0, c'est-à-dire si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Démonstration (au programme). Supposons u⃗ et v⃗ colinéaires : il existe un réel k tel que v⃗ = k u⃗, donc x′ = kx et y′ = ky. Alors xy′ − x′y = x × ky − kx × y = 0.

Réciproquement, supposons xy′ − x′y = 0, soit xy′ = x′y. Comme u⃗ ≠ 0⃗, x ≠ 0 ou y ≠ 0. Si x ≠ 0, posons k = x′/x : alors x′ = kx et y′ = x′y/x = ky, donc v⃗ = k u⃗. Si x = 0, alors y ≠ 0 ; posons k = y′/y : y′ = ky, et l'égalité xy′ = x′y devient 0 = x′y, donc x′ = 0 = kx. Dans les deux cas v⃗ = k u⃗ : les vecteurs sont colinéaires. Le tableau de proportionnalité formé par les coordonnées est exactement l'égalité xy′ = x′y, d'où la seconde caractérisation.

Applications. Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB^→ et AC^→ sont colinéaires. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB^→ et CD^→ sont colinéaires. La colinéarité seule donne le parallélisme ; il faut un point commun pour conclure à l'alignement.

Exemple 2 · Alignement, puis un point inconnu sur une droite

Énoncé. E(1 ; 2), F(4 ; 3) et G(10 ; 5). a) Les points E, F, G sont-ils alignés ? b) Déterminer le réel m tel que K(m ; 7) appartienne à la droite (EF).

Rédaction. a) EF^→(3 ; 1) et EG^→(9 ; 3). det(EF^→, EG^→) = 3 × 3 − 9 × 1 = 0. Les vecteurs EF^→ et EG^→ sont colinéaires et ont le point E en commun : E, F, G sont alignés.

b) K appartient à (EF) si et seulement si EF^→ et EK^→ sont colinéaires. EK^→(m − 1 ; 5), donc det(EF^→, EK^→) = 3 × 5 − (m − 1) × 1 = 16 − m. Il est nul si et seulement si m = 16 : K(16 ; 7).

La figure : du vecteur AB^→ au point D

La figure suit la rédaction de l'exemple 1. Les points A, B et C apparaissent d'abord. Le vecteur AB^→ se trace ensuite, avec en vert ses deux déplacements, 5 unités vers la droite puis 2 vers le haut : ce sont ses coordonnées. Le même vecteur, reporté en or pour finir en C, part du point cherché : D(−1 ; 3). Les deux autres côtés ferment le parallélogramme, puis les diagonales se tracent en pointillés et se coupent en leur milieu commun I(0,5 ; 2), la vérification de l'exemple.

Les erreurs sur les vecteurs qui coûtent des points

• Calculer AB^→ en « départ moins arrivée », (x_A − x_B ; y_A − y_B) : on obtient BA^→.
• Écrire AB^→ = CD^→ pour le parallélogramme ABCD : c'est DC^→.
• Conclure à l'alignement de trois points à partir de deux vecteurs colinéaires qui n'ont pas de point commun.
• Croire que ‖u⃗ + v⃗‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ : c'est faux dès que les vecteurs ne sont pas de même sens.
• Oublier la flèche : AB est une longueur, AB^→ un vecteur.

Je demande d'écrire la propriété utilisée avant chaque calcul : « ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB^→ = DC^→ », puis les coordonnées.

Trois exercices corrigés sur les vecteurs

Exercice 1 · Combinaison, norme, colinéarité

Énoncé. u⃗(2 ; −3), v⃗(−1 ; 4) et w⃗(−6 ; 9). a) Calculer les coordonnées de 2u⃗ − 3v⃗. b) Calculer ‖u⃗‖. c) u⃗ et w⃗ sont-ils colinéaires ? Et u⃗ et v⃗ ?

Correction. a) 2u⃗ (4 ; −6) et 3v⃗ (−3 ; 12), donc 2u⃗ − 3v⃗ (4 + 3 ; −6 − 12) = (7 ; −18).

b) ‖u⃗‖ = √(2² + (−3)²) = √13.

c) det(u⃗, w⃗) = 2 × 9 − (−6) × (−3) = 18 − 18 = 0 : colinéaires, et w⃗ = −3u⃗. det(u⃗, v⃗) = 2 × 4 − (−1) × (−3) = 8 − 3 = 5 ≠ 0 : u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires.

Exercice 2 · Un triangle rectangle, puis un rectangle

Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(−1 ; 1), B(3 ; −1) et C(4 ; 1). a) Montrer que ABC est rectangle en B. b) Déterminer D tel que ABCD soit un rectangle.

Correction. a) AB^→(4 ; −2), BC^→(1 ; 2), AC^→(5 ; 0). AB² = 16 + 4 = 20, BC² = 1 + 4 = 5, AC² = 25. Comme AB² + BC² = 25 = AC², la réciproque du théorème de Pythagore montre que ABC est rectangle en B.

b) Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. On cherche donc D tel que AB^→ = DC^→ : D(x ; y) avec 4 − x = 4 et 1 − y = −2, soit D(0 ; 3). ABCD est un parallélogramme et son angle en B est droit : c'est un rectangle. Contrôle : les milieux de [AC] et [BD] valent tous deux (1,5 ; 1).

Exercice 3 · Un alignement démontré sans coordonnées

Énoncé. ABCD est un parallélogramme. E est le milieu de [BC] et F le point défini par DF^→ = 2DC^→. Montrer que A, E et F sont alignés, et que E est le milieu de [AF].

Correction. On exprime tout avec AB^→ et AD^→, qui ne sont pas colinéaires. Par Chasles, AE^→ = AB^→ + BE^→ = AB^→ + (1/2)BC^→ = AB^→ + (1/2)AD^→, car BC^→ = AD^→ dans le parallélogramme. De même, AF^→ = AD^→ + DF^→ = AD^→ + 2DC^→ = AD^→ + 2AB^→, car DC^→ = AB^→.

Donc AF^→ = 2(AB^→ + (1/2)AD^→) = 2AE^→. Les vecteurs AE^→ et AF^→ sont colinéaires avec le point A en commun : A, E, F sont alignés. De plus AF^→ = 2AE^→ donne AE^→ = EF^→ : E est le milieu de [AF].