Produit scalaire en coordonnées : xx′ + yy′, angle et projeté orthogonal

Le programme de première (rentrée 2026) prévoit : « En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d'orthogonalité. Expression des coordonnées dans une base orthonormée en termes de produits scalaires avec les vecteurs de la base. » Les autres méthodes de calcul sont dans l'article sur le produit scalaire en première ; celle-ci est la plus mécanique dès qu'un repère orthonormé est en place.

Pourquoi xx′ + yy′ : la bilinéarité fait le travail

Soit (i⃗ ; j⃗) une base orthonormée : ‖i⃗‖ = ‖j⃗‖ = 1 et i⃗ · j⃗ = 0. Si u⃗ = x i⃗ + y j⃗ et v⃗ = x′ i⃗ + y′ j⃗, la bilinéarité et la symétrie donnent

u⃗ · v⃗ = xx′ (i⃗ · i⃗) + (xy′ + yx′)(i⃗ · j⃗) + yy′ (j⃗ · j⃗) = xx′ + yy′.

Dans une base quelconque, les termes croisés restent : si i⃗ et j⃗ sont de norme 1 et forment un angle de 60°, i⃗ · j⃗ = 1/2, alors que xx′ + yy′ donnerait 0 pour u⃗ = i⃗ et v⃗ = j⃗. Avec v⃗ = i⃗ puis v⃗ = j⃗, le même calcul donne u⃗ · i⃗ = x et u⃗ · j⃗ = y : les coordonnées sont les produits scalaires avec les vecteurs de la base. Pour deux points, AB^→(x_B − x_A ; y_B − y_A) et la norme redonne la distance vue en seconde.

Angle, orthogonalité, projeté : la méthode

Angle. Calculer u⃗ · v⃗ par les coordonnées, puis ‖u⃗‖ et ‖v⃗‖, et égaler avec ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ ; θ s'obtient entre 0° et 180°. Le signe de u⃗ · v⃗ annonce un angle aigu ou obtus.

Orthogonalité. xx′ + yy′ = 0 ; le détail est dans l'article produit scalaire et orthogonalité.

Projeté orthogonal H de C sur (AB). H ∈ (AB) donne AH^→ = k AB^→ ; CH^→ ⊥ AB^→ donne AB^→ · AC^→ = AB^→ · AH^→ = k AB². La distance de C à la droite est CH.

Deux exemples sur un même triangle

Exemple 1 · L'angle d'un triangle à partir de trois points

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(2 ; 3). Calculer l'angle BAC.

Rédaction. AB^→(3 ; 1) et AC^→(1 ; 2). Le repère étant orthonormé, AB^→ · AC^→ = 3 × 1 + 1 × 2 = 5, AB = √(9 + 1) = √10 et AC = √(1 + 4) = √5. Comme AB^→ · AC^→ = AB × AC × cos BAC, on obtient cos BAC = 5 / (√10 × √5) = 5/√50 = 5/(5√2) = √2/2. L'angle BAC étant compris entre 0° et 180°, BAC = 45°.

Je demande de simplifier le cosinus avant de prendre la calculatrice : un énoncé aux points bien choisis attend une valeur remarquable.

Exemple 2 · Le projeté orthogonal et la distance à une droite

Énoncé. Avec les mêmes points, déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de C sur la droite (AB), puis la distance du point C à la droite (AB).

Rédaction. H appartient à (AB), donc il existe un réel k tel que AH^→ = k AB^→. Comme CH^→ est orthogonal à AB^→, on a AB^→ · AC^→ = AB^→ · (AH^→ + HC^→) = AB^→ · AH^→ = k AB². Donc k = 5/10 = 1/2, puis AH^→(3/2 ; 1/2) et H(5/2 ; 3/2). Vérification : CH^→(1/2 ; −3/2) et AB^→ · CH^→ = 3/2 − 3/2 = 0. La distance de C à (AB) vaut CH = √(1/4 + 9/4) = √(10/4) = √10/2 ≈ 1,58.

On en tire l'aire du triangle ABC : AB × CH / 2 = √10 × √10/2 / 2 = 5/2.

La figure reprend ces deux exemples. Elle place les trois points, puis trace AB^→ en or avec ses composantes en pointillés (3 vers la droite, 1 vers le haut), puis AC^→ en bleu (1 et 2) ; vient le calcul 3 × 1 + 1 × 2 = 5, puis l'arc de 45°, enfin le segment gris [CH] qui tombe à angle droit sur (AB), H au milieu de [AB] puisque k = 1/2. Multiplier les composantes horizontales entre elles et les verticales entre elles n'a de sens que sur un quadrillage de carrés : c'est la condition « base orthonormée », visible sur la figure.

Les erreurs sur le produit scalaire en coordonnées qui coûtent des points

• Appliquer la formule dans un repère non orthonormé. Je demande d'écrire « le repère étant orthonormé » au moment d'utiliser xx′ + yy′ : c'est l'hypothèse.
• Calculer A − B au lieu de B − A pour AB^→ ; perdre un signe, comme (−1) × 4 écrit + 4.
• Écrire ‖u⃗‖ = x + y, ou √x² + y² sans parenthèse.
• Diviser par la somme des normes au lieu du produit, ou rendre cos θ quand la question demande l'angle.

Trois exercices corrigés sur le produit scalaire en coordonnées

Exercice 1 · Produit scalaire, normes, angle

Énoncé. Dans un repère orthonormé, u⃗(−2 ; 5) et v⃗(3 ; 4). Calculer u⃗ · v⃗, ‖u⃗‖, ‖v⃗‖, puis l'angle entre u⃗ et v⃗ au dixième de degré.

Correction. u⃗ · v⃗ = (−2) × 3 + 5 × 4 = −6 + 20 = 14. ‖u⃗‖ = √(4 + 25) = √29 et ‖v⃗‖ = √(9 + 16) = 5. Donc cos θ = 14 / (5√29) ≈ 0,520, et θ ≈ 58,7°. Le produit scalaire est positif, l'angle est aigu, ce qui est cohérent.

Exercice 2 · Nature d'un triangle et aire

Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(2 ; 1), B(5 ; 3) et C(0 ; 4). Déterminer la nature du triangle ABC et calculer son aire.

Correction. AB^→(3 ; 2) et AC^→(−2 ; 3). Le repère étant orthonormé, AB^→ · AC^→ = −6 + 6 = 0 : les vecteurs, non nuls, sont orthogonaux, donc le triangle est rectangle en A. De plus AB = √(9 + 4) = √13 et AC = √(4 + 9) = √13, donc AB = AC : ABC est rectangle isocèle en A. Son aire vaut AB × AC / 2 = 13/2. Contrôle : BC² = 25 + 1 = 26 = 13 + 13, conforme à Pythagore.

Exercice 3 · Projeté orthogonal sur une droite donnée par un vecteur directeur

Énoncé. Dans un repère orthonormé, D est la droite passant par A(1 ; 2) et dirigée par u⃗(2 ; 1). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M(4 ; 7) sur D, puis la distance de M à D.

Correction. H appartient à D, donc AH^→ = t u⃗ pour un réel t, et MH^→ est orthogonal à u⃗. Alors AM^→ · u⃗ = (AH^→ + HM^→) · u⃗ = t ‖u⃗‖². Ici AM^→(3 ; 5), AM^→ · u⃗ = 6 + 5 = 11 et ‖u⃗‖² = 5, donc t = 11/5. D'où AH^→(22/5 ; 11/5) et H(27/5 ; 21/5). Vérification : MH^→(7/5 ; −14/5) et MH^→ · u⃗ = 14/5 − 14/5 = 0. La distance de M à D vaut MH = √(49/25 + 196/25) = √(245/25) = √(49/5) = 7/√5 = 7√5/5 ≈ 3,13. La même question se traite aussi en passant par une équation cartésienne de D et un vecteur normal ; les deux méthodes doivent donner le même H.

Quand l'énoncé ne donne que des longueurs, le produit scalaire avec les normes évite d'introduire un repère.