Produit scalaire avec les normes : calculer u⃗ · v⃗ quand on ne connaît que des longueurs

Quand l'énoncé ne donne ni angle, ni coordonnées, ni projeté facile, mais des longueurs, le programme de première demande de calculer le produit scalaire « à l'aide de normes » ; le développement de ‖u⃗ + v⃗‖² et de ‖u⃗ − v⃗‖² figure dans ses contenus. Tout repose sur ‖w⃗‖² = w⃗ · w⃗, qu'on développe. Les définitions par le cosinus et la projection sont dans l'article sur le produit scalaire en première.

La démonstration, en développant un carré

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, donc ‖u⃗ + v⃗‖² = (u⃗ + v⃗) · (u⃗ + v⃗) = ‖u⃗‖² + 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖², et de même ‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖². On isole u⃗ · v⃗ dans chacune : ce sont les deux premières formules. En soustrayant les deux développements, ‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗ − v⃗‖² = 4 u⃗ · v⃗ ; en les additionnant, ‖u⃗ + v⃗‖² + ‖u⃗ − v⃗‖² = 2(‖u⃗‖² + ‖v⃗‖²) : dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale celle des carrés des quatre côtés.

Avec u⃗ = AB^→ et v⃗ = AC^→, u⃗ − v⃗ = CB^→, d'où la formule du triangle. En y remplaçant AB^→ · AC^→ par AB × AC × cos A, on obtient le théorème d'Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos A.

La méthode des normes sur un sujet de devoir

1. Écrire le produit cherché sous la forme u⃗ · v⃗, avec deux vecteurs de même origine (Chasles ou vecteur opposé si besoin).
2. Repérer sur la figure u⃗ + v⃗ ou u⃗ − v⃗ : dans un triangle, le troisième côté ; dans un parallélogramme, une diagonale.
3. Écrire la formule en lettres, puis remplacer.
4. Contrôler le signe : celui de AB^→ · AC^→ est celui de AB² + AC² − BC². L'angle en A est aigu si BC² < AB² + AC², droit en cas d'égalité, obtus sinon : la réciproque de Pythagore prolongée.

Avec des coordonnées, la formule xx′ + yy′ du produit scalaire avec les coordonnées va plus vite ; si un projeté tombe sur un point connu, la projection est plus courte.

Deux exemples : un triangle, puis des diagonales

Exemple 1. ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 7 et BC = 6. Calculer AB^→ · AC^→, puis une mesure de l'angle BAC au dixième de degré.

AB^→ · AC^→ = ½(AB² + AC² − BC²) = ½(25 + 49 − 36) = 19, positif comme l'annonce 36 < 25 + 49. Par ailleurs AB^→ · AC^→ = AB × AC × cos(BAC) = 35 cos(BAC). Donc cos(BAC) = 19/35, et BAC ≈ 57,1°.

C'est le triangle de la figure. Elle trace AB^→ en noir, puis AC^→ en bleu, tous deux depuis A, puis le côté [BC] en pointillé rouge, qui joue le rôle de u⃗ − v⃗ ; viennent ensuite le calcul ½(25 + 49 − 36) = 19, l'angle en A marqué en or, et la même formule en B : BA^→ · BC^→ = ½(25 + 36 − 49) = 6. Trois côtés fixent la forme du triangle, et le produit scalaire fait passer des longueurs aux angles.

Exemple 2. Démontrer que ‖u⃗ + v⃗‖ = ‖u⃗ − v⃗‖ si et seulement si u⃗ et v⃗ sont orthogonaux.

Les normes sont positives, donc l'égalité équivaut à ‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗ − v⃗‖² = 0, c'est-à-dire à 4 u⃗ · v⃗ = 0, soit u⃗ et v⃗ orthogonaux. Traduction : un parallélogramme non aplati a des diagonales de même longueur si et seulement si c'est un rectangle. Voir produit scalaire et orthogonalité.

Les erreurs sur le produit scalaire par les normes qui coûtent des points

• ‖u⃗ + v⃗‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖. Faux dès que les vecteurs ne sont pas colinéaires de même sens : seuls les carrés se développent, avec un double produit.
• Le mauvais côté soustrait. Dans ½(AB² + AC² − BC²), on soustrait le côté qui ne passe pas par le sommet commun A, la norme de AB^→ − AC^→.
• Le ½ oublié. On trouve 38 au lieu de 19, puis un cosinus supérieur à 1. Un cosinus hors de [−1 ; 1] signale un calcul faux.

Trois exercices corrigés sur le produit scalaire par les normes

Exercice 1 · ‖u⃗‖ = 3, ‖v⃗‖ = 5 et ‖u⃗ + v⃗‖ = 7. Calculer u⃗ · v⃗ et l'angle entre u⃗ et v⃗.

u⃗ · v⃗ = ½(‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²) = ½(49 − 9 − 25) = 15/2 = 7,5.

Par la formule avec le cosinus, 7,5 = 3 × 5 × cos θ, donc cos θ = 7,5/15 = 1/2, et l'angle géométrique entre u⃗ et v⃗ mesure π/3.

Exercice 2 · ABCD est un parallélogramme avec AB = 6, AD = 4 et AC = 8. Calculer AB^→ · AD^→, puis la longueur BD.

Dans le parallélogramme ABCD, AB^→ + AD^→ = AC^→ (règle du parallélogramme). Donc AB^→ · AD^→ = ½(AC² − AB² − AD²) = ½(64 − 36 − 16) = 6.

Par ailleurs BD^→ = AD^→ − AB^→ (relation de Chasles : BD^→ = BA^→ + AD^→). Donc BD² = ‖AD^→ − AB^→‖² = AD² − 2 AB^→ · AD^→ + AB² = 16 − 12 + 36 = 40, et BD = √40 = 2√10 ≈ 6,32.

Contrôle : AC² + BD² = 64 + 40 = 104 et 2(AB² + AD²) = 2(36 + 16) = 104.

Exercice 3 · a) ‖u⃗‖ = 2, ‖v⃗‖ = 3 et u⃗ · v⃗ = −1 : calculer ‖u⃗ − v⃗‖ et ‖2u⃗ + v⃗‖. b) Dans le triangle ABC de la figure (AB = 5, AC = 7, BC = 6), I est le milieu de [BC] : calculer AI.

a) ‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖² = 4 + 2 + 9 = 15, donc ‖u⃗ − v⃗‖ = √15. De même ‖2u⃗ + v⃗‖² = ‖2u⃗‖² + 2 (2u⃗) · v⃗ + ‖v⃗‖² = 4 × 4 + 4 × (−1) + 9 = 21, donc ‖2u⃗ + v⃗‖ = √21.

b) On pose u⃗ = AB^→ et v⃗ = AC^→. Comme I est le milieu de [BC], AI^→ = ½(AB^→ + AC^→), donc 2 AI^→ = u⃗ + v⃗ et BC^→ = v⃗ − u⃗. L'égalité ‖u⃗ + v⃗‖² + ‖u⃗ − v⃗‖² = 2(‖u⃗‖² + ‖v⃗‖²) donne 4 AI² + BC² = 2(AB² + AC²).

Ainsi 4 AI² = 2(25 + 49) − 36 = 112, AI² = 28 et AI = √28 = 2√7 ≈ 5,29. C'est le théorème de la médiane, qu'on retrouve ainsi sans l'avoir appris.