Propriétés algébriques du logarithme : ln(ab), ln(a/b), ln(aⁿ) et les équations qu'elles résolvent

Le programme de terminale (2019) demande d'« utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation ». La fonction ln elle-même est traitée dans l'article sur le logarithme népérien ; on n'utilise ici que e^ln(x) = x pour x > 0 et la stricte croissance de ln sur ]0 ; +∞[.

D'où vient ln(ab) = ln(a) + ln(b), et ce qui en découle

Soient a > 0 et b > 0. On a e^{ln(a) + ln(b)} = e^ln(a) × e^ln(b) = ab, et aussi e^ln(ab) = ab. Deux réels de même exponentielle sont égaux (exp est strictement croissante) : ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Inverse. ln(a) + ln(1/a) = ln(1) = 0, donc ln(1/a) = −ln(a). Quotient. ln(a/b) = ln(a) + ln(1/b) = ln(a) − ln(b). Puissance. Pour n entier naturel, par récurrence : ln(a⁰) = 0, et si ln(aⁿ) = n ln(a), alors ln(aⁿ⁺¹) = ln(aⁿ) + ln(a) = (n + 1) ln(a) ; pour n négatif, aⁿ = 1/a⁻ⁿ. Racine. ln(a) = ln((√a)²) = 2 ln(√a).

Ainsi ln(72) = ln(2³ × 3²) = 3 ln(2) + 2 ln(3).

Les conditions font partie de la formule

ln((−2) × (−3)) = ln(6) existe, mais ln(−2) + ln(−3) n'a aucun sens. Avec des expressions, x ↦ ln(x(x − 1)) est définie sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]1 ; +∞[, alors que x ↦ ln(x) + ln(x − 1) ne l'est que sur ]1 ; +∞[ : passer de l'une à l'autre en cours de résolution change l'équation. De même, pour x ≠ 0, ln(x²) = 2 ln|x|, et non 2 ln(x).

Équations, inéquations et seuils : la méthode

1. Écrire les conditions d'existence de chaque logarithme et en déduire l'ensemble D.
2. Regrouper pour obtenir un seul logarithme de chaque côté, ou un logarithme égal à un nombre.
3. Utiliser ln(A) = ln(B) ⇔ A = B, ln(A) < ln(B) ⇔ A < B (A, B > 0), ou ln(A) = k ⇔ A = eᵏ.
4. Résoudre, puis ne garder que les solutions dans D.

Pour un seuil (qⁿ < ε ou qⁿ > M), on passe au logarithme, ce qui conserve l'ordre, puis on divise par ln(q) : si 0 < q < 1, ln(q) < 0 et l'inégalité change de sens. La limite de qⁿ dit qu'un seuil existe (voir suite géométrique), le logarithme dit lequel. Une équation eˣ = k avec k > 0 se résout en x = ln(k), ce qui complète les équations avec exponentielle.

Exemple 1 · Une équation où une solution disparaît

Énoncé. Résoudre ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln(3).

Rédaction. L'équation a un sens si x − 1 > 0 et x + 1 > 0, c'est-à-dire x > 1 : on travaille sur D = ]1 ; +∞[. Pour x dans D, ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln((x − 1)(x + 1)) = ln(x² − 1). L'équation équivaut à ln(x² − 1) = ln(3), soit x² − 1 = 3, soit x² = 4, donc x = 2 ou x = −2. Seul 2 appartient à D. S = {2}.

Sans l'étape 1, on garde −2, pour lequel ln(−3) n'existe pas.

Exemple 2 · Un seuil pour une suite géométrique

Énoncé. uₙ = 5 × 0,8ⁿ pour tout entier naturel n. Déterminer le plus petit entier n tel que uₙ < 0,01.

Rédaction. uₙ < 0,01 ⇔ 0,8ⁿ < 0,002 ⇔ ln(0,8ⁿ) < ln(0,002), par stricte croissance de ln sur ]0 ; +∞[, ⇔ n ln(0,8) < ln(0,002) ⇔ n > ln(0,002)/ln(0,8), car ln(0,8) < 0. Or ln(0,002)/ln(0,8) ≈ 27,85. Le plus petit entier qui convient est n = 28. Contrôle : u₂₇ ≈ 0,0121 et u₂₈ ≈ 0,0097.

Ce que montre la figure des propriétés du logarithme

La courbe de ln se trace, puis ses points d'abscisses 2, 3 et 6 apparaissent, avec leurs hauteurs ln(2) ≈ 0,69, ln(3) ≈ 1,10 et ln(6) ≈ 1,79. À droite, ln 2 (en or) puis ln 3 (en bleu) s'empilent : la pile arrive exactement au niveau de ln(6), le trait horizontal en pointillés. En dernier vient le point gris d'abscisse 2 + 3 = 5, nettement plus bas (ln(5) ≈ 1,61) : multiplier les abscisses additionne les hauteurs, additionner les abscisses ne donne rien de simple.

Les erreurs sur les propriétés du logarithme qui coûtent des points

• ln(a + b) = ln(a) + ln(b). Avec a = b = 1 : ln(2) ≈ 0,69 contre 0.
• ln(a)/ln(b) = ln(a/b). ln(8)/ln(2) = 3, alors que ln(4) ≈ 1,39.
• (ln a)² = 2 ln(a). C'est ln(a²) qui vaut 2 ln(a) ; pour a = e, l'un vaut 1, l'autre 2.
• Ne pas retourner l'inégalité en divisant par ln(0,8). J'exige « car ln(0,8) < 0 » écrit en clair.
• Garder une solution hors du domaine, comme −2 dans l'exemple 1.

Trois exercices corrigés sur les propriétés du logarithme

Exercice 1 · Tout exprimer avec ln(2)

Énoncé. Écrire C = ln(16) + ln(1/8) − ln(√2) sous la forme k ln(2), puis D = ln(12) − ln(3) + ln(e²) à l'aide de ln(2).

Correction. C = 4 ln(2) − 3 ln(2) − ½ ln(2) = ½ ln(2).

D = ln(12/3) + 2 = ln(4) + 2 = 2 ln(2) + 2.

Exercice 2 · Une inéquation, puis un capital qui double

Énoncé. a) Résoudre ln(2x + 1) ≤ ln(x + 3). b) Un capital placé à 3 % par an est multiplié par 1,03 chaque année. Au bout de combien d'années entières aura-t-il au moins doublé ?

Correction. a) Conditions : 2x + 1 > 0 et x + 3 > 0, soit x > −1/2 (la seconde condition est alors automatique). Sur ]−1/2 ; +∞[, par stricte croissance de ln, l'inéquation équivaut à 2x + 1 ≤ x + 3, soit x ≤ 2. S = ]−1/2 ; 2].

b) On cherche n entier tel que 1,03ⁿ ≥ 2. Par croissance de ln : n ln(1,03) ≥ ln(2), et ln(1,03) > 0, donc n ≥ ln(2)/ln(1,03) ≈ 23,45. Il faut 24 ans.

Exercice 3 · Une équation du second degré en ln(x)

Énoncé. Résoudre sur ]0 ; +∞[ l'équation 2(ln x)² − ln(x) − 1 = 0, puis l'inéquation 2(ln x)² − ln(x) − 1 < 0.

Correction. On pose X = ln(x). L'équation devient 2X² − X − 1 = 0. Le discriminant vaut Δ = 1 + 8 = 9, d'où X = (1 + 3)/4 = 1 ou X = (1 − 3)/4 = −1/2. Donc ln(x) = 1, soit x = e, ou ln(x) = −1/2, soit x = e^−1/2 = 1/√e. S = {1/√e ; e}.

Le trinôme 2X² − X − 1 est strictement négatif entre ses racines : −1/2 < ln(x) < 1. Par stricte croissance de exp, e^−1/2 < x < e. S = ]1/√e ; e[, soit environ ]0,607 ; 2,718[.

Ces règles servent ensuite à simplifier une dérivée, trouver un seuil, comparer des croissances comme dans la croissance comparée.