Logarithme népérien : la fonction ln, de sa définition à sa courbe

ln(x), l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir x

Le programme de terminale de 2019 introduit ln comme réciproque de la fonction exponentielle et demande deux démonstrations : la dérivée de ln et la limite de x ln(x) en 0. Les règles de calcul (ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ses conséquences) sont dans les propriétés algébriques du logarithme.

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, elle tend vers 0 en −∞ et vers +∞ en +∞. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, dans sa version pour les fonctions strictement monotones, pour tout réel x > 0 l'équation eʸ = x admet une unique solution y dans ℝ.

Définition. Pour tout réel x > 0, on note ln(x) l'unique réel y tel que eʸ = x. La fonction ln : x ↦ ln(x), définie sur ]0 ; +∞[, est la fonction logarithme népérien.

L'équivalence suivante sert dans tout le chapitre ; elle vaut pour x > 0 et y réel :

y = ln(x) ⇔ x = eʸ.

On en tire deux identités qu'on utilise sans arrêt : e^ln(x) = x pour tout x > 0, et ln(eʸ) = y pour tout réel y. Et quelques valeurs : ln(1) = 0 puisque e⁰ = 1, ln(e) = 1 puisque e¹ = e, ln(1/e) = −1, ln(e²) = 2. Sur la calculatrice, ln(5) ≈ 1,609, ce qui se vérifie en tapant e^1,609 ≈ 5.

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas, puisque eʸ est toujours strictement positif : toute équation avec ln commence par le domaine de définition.

Démontrer que la dérivée de ln est x ↦ 1/x

Le programme admet que ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et demande de calculer sa dérivée.

Pour tout x > 0, e^ln(x) = x. Les deux membres sont des fonctions dérivables de x sur ]0 ; +∞[ ; on les dérive. À gauche, on a la composée exp ∘ ln, dont la dérivée est, d'après la formule (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′, égale à ln′(x) × e^ln(x). À droite, la dérivée vaut 1. Donc ln′(x) × e^ln(x) = 1, c'est-à-dire ln′(x) × x = 1, et comme x ≠ 0 :

pour tout x > 0, ln′(x) = 1/x.

Puisque 1/x > 0 sur ]0 ; +∞[, ln est strictement croissante sur cet intervalle. Il en découle, pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln(a) = ln(b) ⇔ a = b, et ln(a) < ln(b) ⇔ a < b. Avec ln(1) = 0, on obtient le signe : ln(x) < 0 pour 0 < x < 1, ln(x) > 0 pour x > 1. Un logarithme négatif n'a rien d'anormal : ln(0,5) ≈ −0,693.

Plus généralement, si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln(u) est dérivable sur I et (ln u)′ = u′/u.

Les limites aux bornes, et pourquoi x ln(x) tend vers 0

En +∞. lim ln(x) = +∞ quand x tend vers +∞. Pour tout réel A, dès que x > e^A, on a ln(x) > A par stricte croissance : ln(x) finit par dépasser n'importe quel seuil, très lentement : il faut x > e¹⁰ ≈ 22 026 pour que ln(x) dépasse 10.

En 0. lim ln(x) = −∞ quand x tend vers 0 par valeurs supérieures. On l'obtient en posant X = 1/x : ln(x) = −ln(X), et X tend vers +∞.

La limite de x ln(x) en 0, deuxième démonstration du programme. Le produit est une forme indéterminée « 0 × (−∞) ». Posons X = ln(x), de sorte que x = e^X. Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, X tend vers −∞, et x ln(x) = X e^X. Or on sait, par croissance comparée, que X e^X tend vers 0 quand X tend vers −∞. Donc lim x ln(x) = 0 quand x tend vers 0⁺. Le même changement de variable donne ln(x)/x → 0 en +∞ ; ces limites, et leurs variantes avec xⁿ, sont réunies dans l'article sur la croissance comparée.

Une dernière limite sert souvent : ln(1 + h)/h tend vers 1 quand h tend vers 0. C'est le taux d'accroissement de ln entre 1 et 1 + h, dont la limite est ln′(1) = 1.

La courbe de ln et sa tangente en 1

Le point M(a ; b) est sur la courbe de exp si et seulement si b = eᵃ, c'est-à-dire a = ln(b), c'est-à-dire si le point M′(b ; a) est sur la courbe de ln. Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation y = x, dans un repère orthonormé.

La tangente à la courbe de ln au point d'abscisse 1 a pour équation y = ln′(1)(x − 1) + ln(1), soit y = x − 1. La courbe est en dessous de cette tangente : la dérivée seconde, ln″(x) = −1/x², est strictement négative, donc ln est concave sur ]0 ; +∞[ (voir la convexité). Pour tout x > 0, ln(x) ≤ x − 1 (démonstration sans convexité à l'exercice 3).

La figure se construit dans l'ordre du raisonnement : la courbe de exp (bleu nuit), le miroir y = x (gris), les reflets des points A(0 ; 1) en A′(1 ; 0) et B(1 ; e) en B′(e ; 1), la courbe de ln (dorée), puis la tangente verte y = x − 1 en A′. On y lit ln(1) = 0 et ln(e) = 1, qui sont e⁰ = 1 et e¹ = e retournées. Le miroir échange les comportements : la courbe de exp s'écrase sur l'axe des abscisses vers la gauche, celle de ln plonge le long de l'axe des ordonnées quand x approche 0 ; exp monte de plus en plus vite, ln de plus en plus lentement, sans jamais s'arrêter.

Deux études rédigées comme sur une copie

Un problème sur le logarithme suit souvent le même chemin : un domaine, une dérivée qui se factorise, un signe qui se lit grâce à la croissance de ln, des limites dont une par croissance comparée, puis souvent une équation f(x) = k traitée par le théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple 1 · Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Rédaction. f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. Comme x > 0, f′(x) a le signe de x − 1 : f est strictement décroissante sur ]0 ; 1] et strictement croissante sur [1 ; +∞[. Elle admet un minimum en 1, égal à f(1) = 1 − 0 = 1.

Limites. En 0⁺, −ln(x) tend vers +∞ et x vers 0, donc f(x) tend vers +∞. En +∞, on a une forme « ∞ − ∞ » ; on factorise : f(x) = x(1 − ln(x)/x). Comme ln(x)/x tend vers 0, la parenthèse tend vers 1 et f(x) tend vers +∞.

Conséquence : pour tout x > 0, x − ln(x) ≥ 1, donc ln(x) < x. La courbe de ln est toujours sous la droite y = x.

Exemple 2 · Le maximum de g(x) = ln(x)/x

Rédaction. g est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, et

g′(x) = ((1/x) × x − ln(x) × 1)/x² = (1 − ln(x))/x².

x² > 0, donc g′(x) a le signe de 1 − ln(x). Or 1 − ln(x) > 0 ⇔ ln(x) < 1 ⇔ x < e, par stricte croissance de ln. g est strictement croissante sur ]0 ; e] et strictement décroissante sur [e ; +∞[ ; son maximum vaut g(e) = 1/e ≈ 0,368.

Le passage « 1 − ln(x) > 0 ⇔ x < e » n'est justifié que si l'on cite la croissance de ln ou de exp.

Les erreurs sur le logarithme népérien qui coûtent des points

• Pas de domaine. Avant d'écrire ln(2x − 4), ln(x² − 1) ou ln(3 − x), on écrit la condition : x > 2 pour ln(2x − 4). Sans elle, on garde parfois une solution qui n'existe pas.
• (ln u)′ = 1/u. La dérivée de ln(x² + 1) est 2x/(x² + 1), et non 1/(x² + 1).
• « ln(x) est positif ». Il est négatif sur ]0 ; 1[ : dans un tableau de signes, le facteur ln(x) change de signe en 1.
• Parenthèses. ln(x)/x, ln(x/2), (ln x)² et ln(x²) sont quatre fonctions différentes.
• « ∞/∞ » laissé en plan. ln(x)/x en +∞ se lève par un résultat du cours, qu'on cite ; les règles générales de calcul de limites ne suffisent pas.

S’entraîner sur trois exercices de DS

Exercice 1 · Deux dérivées à calculer

Énoncé. Donner l'ensemble de définition puis la dérivée de h(x) = ln(x² + 1) et de k(x) = x ln(x) − x.

Correction. Pour tout réel x, x² + 1 ≥ 1 > 0 : h est définie et dérivable sur ℝ, et h′(x) = 2x/(x² + 1). h′ a le signe de x : h décroît sur ]−∞ ; 0] et croît sur [0 ; +∞[, avec h(0) = ln(1) = 0.

k est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[. Par la dérivée d'un produit, k′(x) = 1 × ln(x) + x × (1/x) − 1 = ln(x). On retiendra que x ln(x) − x est une primitive de ln sur ]0 ; +∞[.

Exercice 2 · Trois limites, dont une piégée

Énoncé. Déterminer les limites de ln(x) − 2x en +∞, de x ln(x) + 3 en 0⁺ et de ln(x)/x en 0⁺.

Correction. En +∞, ln(x) − 2x est une forme « ∞ − ∞ ». On factorise : ln(x) − 2x = x(ln(x)/x − 2). Par croissance comparée, ln(x)/x tend vers 0, la parenthèse tend vers −2 et x vers +∞ : la limite est −∞.

En 0⁺, x ln(x) tend vers 0 (résultat du cours), donc x ln(x) + 3 tend vers 3.

En 0⁺, ln(x)/x = ln(x) × (1/x) : ln(x) tend vers −∞ et 1/x vers +∞. Ce n'est pas une forme indéterminée, le produit tend vers −∞. Le piège consiste à vouloir y appliquer la croissance comparée, qui ne sert qu'en +∞ pour ce quotient.

Exercice 3 · Combien de solutions pour ln(x) = x/3 ?

Énoncé. a) Montrer que pour tout x > 0, ln(x) ≤ x − 1. b) Montrer que l'équation ln(x) = x/3 admet exactement deux solutions sur ]0 ; +∞[ et en donner un encadrement d'amplitude 10⁻².

Correction. a) Soit φ(x) = ln(x) − x + 1 sur ]0 ; +∞[. φ′(x) = 1/x − 1 = (1 − x)/x, du signe de 1 − x. φ croît sur ]0 ; 1] et décroît sur [1 ; +∞[, son maximum est φ(1) = 0. Donc φ(x) ≤ 0, soit ln(x) ≤ x − 1.

b) Soit f(x) = ln(x) − x/3 sur ]0 ; +∞[. f′(x) = 1/x − 1/3 = (3 − x)/(3x), du signe de 3 − x. f est strictement croissante sur ]0 ; 3] et strictement décroissante sur [3 ; +∞[, de maximum f(3) = ln(3) − 1 ≈ 0,099 > 0.

En 0⁺, f(x) tend vers −∞. En +∞, f(x) = x(ln(x)/x − 1/3) tend vers −∞. Sur ]0 ; 3], f est continue, strictement croissante, et passe de −∞ à une valeur positive : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, f s'annule une seule fois, en α. De même sur [3 ; +∞[, f s'annule une seule fois, en β. Au total, deux solutions.

Par balayage à la calculatrice : f(1,85) < 0 < f(1,86), donc 1,85 < α < 1,86 ; f(4,53) > 0 > f(4,54), donc 4,53 < β < 4,54.