Sens de variation d'une suite : trois façons de le démontrer et celle qui ne marche pas

Il faut prouver le sens de variation pour tous les rangs à la fois : u₀, u₁ et u₂ à la calculatrice donnent une idée, jamais une preuve. Cet article fait partie du chapitre sur les suites en première.

Croissante, décroissante, et « à partir d'un certain rang »

La suite (uₙ) est croissante si, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ ≥ uₙ. Elle est strictement croissante si uₙ₊₁ > uₙ pour tout n. Décroissante et strictement décroissante se définissent avec ≤ et <. Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Une suite constante est à la fois croissante et décroissante.

(uₙ) est croissante à partir du rang n₀ si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n ≥ n₀. Beaucoup de suites ne sont monotones qu'à partir d'un rang, et d'autres jamais : (−1)ⁿ alterne entre 1 et −1, ce que prouvent u₁ < u₀ et u₂ > u₁. Un contre-exemple ruine la monotonie ; plusieurs termes rangés dans l'ordre ne l'établissent pas.

Trois méthodes, chacune avec sa condition

Le signe de uₙ₊₁ − uₙ, toujours applicable

On calcule uₙ₊₁ − uₙ en fonction de n, on simplifie, puis on étudie son signe pour tout n ∈ ℕ. Positif pour tout n : croissante. Négatif pour tout n : décroissante.

Pour une suite définie par récurrence, on n'a pas besoin de connaître uₙ pour étudier uₙ₊₁ − uₙ. Si uₙ₊₁ = uₙ + 1/(uₙ² + 1), alors uₙ₊₁ − uₙ = 1/(uₙ² + 1), qui est strictement positif quel que soit le réel uₙ. La suite est strictement croissante, quel que soit son premier terme.

Exemple 1 · uₙ = n² − 5n + 1, une suite qui change de sens.

Énoncé. Étudier le sens de variation de la suite définie pour tout n ∈ ℕ par uₙ = n² − 5n + 1.

Rédaction. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² − 5(n + 1) + 1 − (n² − 5n + 1) = n² + 2n + 1 − 5n − 5 + 1 − n² + 5n − 1 = 2n − 4. Or 2n − 4 ≥ 0 si et seulement si n ≥ 2. Donc u₁ < u₀, u₂ < u₁, u₃ = u₂, et pour tout n ≥ 2, uₙ₊₁ ≥ uₙ. La suite (uₙ) est croissante à partir du rang 2, et strictement croissante à partir du rang 3. Elle n'est pas monotone sur ℕ, puisque u₁ < u₀ et u₄ > u₃.

Comparer uₙ₊₁/uₙ à 1, si tous les termes sont strictement positifs

Si uₙ > 0 pour tout n, alors uₙ₊₁ ≥ uₙ équivaut à uₙ₊₁/uₙ ≥ 1, puisqu'on divise par un nombre strictement positif. Le quotient simplifie là où la différence s'enlise : puissances, produits. La condition de positivité compte : pour uₙ = −2ⁿ, le quotient vaut 2 > 1, et pourtant la suite est décroissante (u₀ = −1, u₁ = −2, u₂ = −4).

Exemple 2 · vₙ = 3ⁿ/(n + 1).

Énoncé. Étudier le sens de variation de la suite définie pour tout n ∈ ℕ par vₙ = 3ⁿ/(n + 1).

Rédaction. Pour tout n ∈ ℕ, 3ⁿ > 0 et n + 1 > 0, donc vₙ > 0. On calcule vₙ₊₁/vₙ = [3ⁿ⁺¹/(n + 2)] × [(n + 1)/3ⁿ] = 3(n + 1)/(n + 2). Or 3(n + 1) − (n + 2) = 2n + 1 > 0, donc 3(n + 1) > n + 2 et vₙ₊₁/vₙ > 1. Les termes étant strictement positifs, vₙ₊₁ > vₙ pour tout n : la suite (vₙ) est strictement croissante.

Quand uₙ = f(n) : le sens de variation de f sur [0 ; +∞[

Si uₙ = f(n) pour tout n, et si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors (uₙ) est croissante. La justification est immédiate : pour tout n, n ≤ n + 1, et f conserve l'ordre sur [0 ; +∞[, donc f(n) ≤ f(n + 1), c'est-à-dire uₙ ≤ uₙ₊₁. Même chose pour décroissante. C'est la bonne méthode dès que f se dérive facilement.

La réciproque est fausse. La fonction f(x) = (x − 0,4)² est décroissante sur [0 ; 0,4], donc pas croissante sur [0 ; +∞[, et pourtant la suite uₙ = (n − 0,4)² est strictement croissante. La suite ne voit que les entiers ; ce que fait f entre 0 et 1 ne la concerne pas.

Exemple 3 · wₙ = (2n + 1)/(n + 3) par la fonction associée.

Énoncé. Étudier le sens de variation de la suite définie pour tout n ∈ ℕ par wₙ = (2n + 1)/(n + 3).

Rédaction. Pour tout n, wₙ = f(n) avec f(x) = (2x + 1)/(x + 3), définie et dérivable sur [0 ; +∞[ puisque x + 3 > 0. Par la formule de la dérivée d'un quotient, f′(x) = [2(x + 3) − (2x + 1)]/(x + 3)² = 5/(x + 3)², strictement positif sur [0 ; +∞[. La fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞[, donc la suite (wₙ) est strictement croissante.

La différence donnait le même résultat, wₙ₊₁ − wₙ = 5/((n + 3)(n + 4)) > 0, au prix d'une mise au même dénominateur.

Récurrence, suites arithmétiques et géométriques

Pour une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), le raisonnement « f est croissante, donc la suite est croissante » est faux. Avec f(x) = 0,5x + 4, croissante sur ℝ, la suite de premier terme u₀ = 1 est croissante (u₁ = 4,5, u₂ = 6,25…), mais celle de premier terme u₀ = 10 est décroissante (u₁ = 9, u₂ = 8,5…). C'est le premier terme qui décide, comme le montre la construction en escalier de la suite définie par récurrence. En première, on revient à uₙ₊₁ − uₙ ; le raisonnement par récurrence viendra en terminale.

Pour une suite arithmétique de raison r, uₙ₊₁ − uₙ = r : la suite est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0.

Pour une suite géométrique uₙ = u₀ × qⁿ, uₙ₊₁ − uₙ = u₀ qⁿ(q − 1). Le signe dépend de u₀, de qⁿ et de q − 1. Si q > 0, qⁿ > 0, et le sens de variation est donné par le signe de u₀(q − 1) : avec u₀ > 0, croissante pour q > 1 et décroissante pour 0 < q < 1 ; avec u₀ < 0, c'est l'inverse. Si q < 0 (et u₀ ≠ 0), les termes changent de signe à chaque rang et la suite n'est pas monotone. Mieux vaut retrouver ces cas à partir de u₀qⁿ(q − 1) que les apprendre.

Les erreurs sur le sens de variation d'une suite qui coûtent des points

• « f est croissante, donc (uₙ) est croissante » pour une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ).
• Le quotient comparé à 1 sans avoir justifié que tous les termes sont strictement positifs.
• « La suite est croissante » quand elle ne l'est qu'à partir du rang 2.
• Une monotonie déduite de quelques termes calculés.
• Une erreur dans le développement de (n + 1)², qu'il vaut mieux écrire sur une ligne à part avant de soustraire.

La figure de uₙ = n² − 5n + 1

La figure reprend l'exemple 1. Les points apparaissent d'abord, puis les pas qui descendent se tracent, le palier, les pas qui montent, et la parabole arrive en dernier. Les points (n ; uₙ) sont placés pour n de 0 à 7. Les segments rouges descendent, de u₀ = 1 à u₁ = −3 puis à u₂ = −5 ; le segment doré est horizontal, parce que u₃ = u₂ = −5 ; les segments verts montent, de plus en plus fort. Les nombres écrits le long des segments sont les écarts uₙ₊₁ − uₙ : −4, −2, puis +2, +4, +6, +8, c'est-à-dire les valeurs de 2n − 4. Leur signe est le sens de variation. En pointillés, la parabole y = x² − 5x + 1 a son sommet en x = 2,5 : la fonction descend jusqu'à 2,5 puis remonte, tandis que la suite, qui ne voit que les entiers, marque un palier entre 2 et 3.

Trois exercices corrigés sur le sens de variation d'une suite

Exercice 1 · Deux suites, deux méthodes

Énoncé. Étudier le sens de variation de a) uₙ = 7 − 3n² ; b) la suite géométrique de premier terme v₀ = −2 et de raison 1/2.

Correction. a) Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ = 7 − 3(n + 1)² − 7 + 3n² = −3(2n + 1). Comme 2n + 1 > 0, uₙ₊₁ − uₙ < 0 pour tout n : (uₙ) est strictement décroissante.

b) Pour tout n, vₙ₊₁ − vₙ = v₀ × (1/2)ⁿ × (1/2 − 1) = −2 × (1/2)ⁿ × (−1/2) = (1/2)ⁿ > 0. La suite (vₙ) est strictement croissante, bien que sa raison soit inférieure à 1 : son premier terme est négatif. Les termes −2, −1, −0,5… montent vers 0.

Exercice 2 · uₙ = n/2ⁿ, décroissante à partir de quel rang ?

Énoncé. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ = n/2ⁿ. Étudier le sens de variation de (uₙ).

Correction. u₀ = 0, donc le quotient est exclu au rang 0 ; on passe par la différence. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)/2ⁿ⁺¹ − 2n/2ⁿ⁺¹ = (1 − n)/2ⁿ⁺¹. Le dénominateur est strictement positif ; le numérateur est positif pour n = 0, nul pour n = 1, négatif pour n ≥ 2. Donc u₁ > u₀, u₂ = u₁ = 1/2, et la suite est décroissante à partir du rang 1, strictement à partir du rang 2. Elle n'est pas monotone sur ℕ.

Exercice 3 · Une récurrence où la fonction ne dit rien

Énoncé. On définit (uₙ) par u₀ = 3 et, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = uₙ − (uₙ − 1)². a) Montrer que (uₙ) est décroissante. b) La fonction f(x) = x − (x − 1)² est-elle décroissante sur ℝ ? Qu'en conclure ?

Correction. a) Pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ − uₙ = −(uₙ − 1)², qui est négatif ou nul quel que soit uₙ. Donc uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n : la suite est décroissante. Les premiers termes le confirment : u₁ = −1, u₂ = −5, u₃ = −41.

b) f′(x) = 1 − 2(x − 1) = 3 − 2x, positive sur ]−∞ ; 3/2] et négative sur [3/2 ; +∞[. La fonction f est croissante puis décroissante, elle n'est pas décroissante sur ℝ. La suite est pourtant décroissante : pour une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), le sens de variation de f ne décide pas de celui de la suite. C'est le signe de f(x) − x = −(x − 1)² qui a servi.